![{\displaystyle \cos .\theta \cos .\theta '+\sin .\theta \sin .\theta '\cos .(\omega -\omega ')=\cos .\theta _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e27b4cf31fdfb7eb2570f3cc96fd925f908ef01)
D’après cette dernière équation, les angles
peuvent être regardés comme les trois côtés d’un triangle sphérique dans lequel l’angle opposé à
sera
Si l’on appelle
l’angle opposé à
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos .\theta =\cos .\theta '\cos .\theta _{1}+\sin .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1},\\&\sin .\theta \sin .(\omega -\omega ')=\sin .\theta _{1}\sin .\omega _{1}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bd12bc89f76dea99c794638cd0639c920ddb10)
en substituant la valeur de
dans celle de
on en déduit
![{\displaystyle \sin .\theta \sin .(\omega -\omega ')=\sin .\theta '\cos .\theta _{1}-\cos .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72a7360bda7595952a5b285ec4994238ee54c61)
et de ces trois dernières équations, on conclut
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\cos .\theta =\cos .\theta '\cos .\theta _{1}+\sin .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1},\\\beta &=\sin .\theta \sin .\omega =\sin .\theta _{1}\sin .\omega _{1}\cos .\omega '+\sin .\theta '\cos .\theta _{1}\sin .\omega '\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\cos .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1}\sin .\omega ',\\\gamma &=\sin .\theta \cos .\omega =\sin .\theta '\cos .\omega _{1}\cos .\omega '-\sin .\theta '\sin .\theta _{1}\cos .\omega _{1}\cos .\omega '\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\sin .\theta _{1}\sin .\omega _{1}\sin .\omega '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f933838f2a7b4ebb308435471bf3b24d06be7516)
L’intégrale relative à
et
s’étend à tous les points de la surface d’une sphère décrite d’un rayon égal à l’unité et dont l’élément différentiel est
Si l’on y remplace les variables
et
par
et
cet élément deviendra
les limites de l’intégrale seront
et
et
et d’après les valeurs précédentes de
on aura d’abord
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\alpha ^{2}\sin .\theta \,d\theta \,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee13dc9c8aed388f21faadb8f6dffb5ed1f3810a)
![{\displaystyle =2\pi \cos .^{2}\theta '\int _{0}^{\pi }\cos .^{2}\theta _{1}\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\sin .\theta _{1}d\theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200cfecf386918d97bfe94f091407397b2d4486a)
![{\displaystyle +\pi \sin .^{2}\theta '\int _{0}^{\pi }\sin .^{2}\theta _{1}\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\sin .\theta _{1}d\theta _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d494a1f123bd6509dde511d6a946372b819a3028)