D’après ce qu’on a dit plus haut, ces expressions de
seront les intégrales complètes des équations (2) ; mais on peut les réduire à une forme plus simple par l’analyse suivante.
(15) Considérons les intégrales sextuples
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .\rho \delta \cos .\rho at.\alpha ^{2}\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz',\\\zeta '&=\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .\rho \delta \cos .\rho at.\beta \gamma \rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c5e4c1addd7907bf3a2145ccedc78246c9efb0)
dont les limites sont les mêmes que précédemment.
Si nous faisons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x+\rho '\cos .\theta ',\\y'&=y\,+\rho '\sin .\theta '\sin .\omega ',\\z'&=z\ +\rho '\sin .\theta '\cos .\omega ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7304cdc3d8e207c702ccd8fd14ffa2752e739b9f)
et que nous remplacions
par les nouvelles variables
nous aurons
![{\displaystyle dx'dy'dz'=\rho '^{2}\sin .\theta 'd\rho 'd\theta 'd\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ba584b7eaaacda6c7c9447e7601011033bcb4b)
et les limites relatives à
seront les mêmes que par rapport à
Nous aurons aussi
![{\displaystyle \delta =\rho '\left(\cos .\theta \cos .\theta '+\sin .\theta \sin .\theta '\cos .(\omega -\omega ')\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14aa5d2aa905fe31ee56e412816ce3c57cf20d86)
d’où il résultera
![{\displaystyle \zeta \ =\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\cos .\rho at.\alpha ^{2}\rho ^{2}\rho '^{2}\sin .\theta \sin .\theta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f430c1734eb5b4c92e15f000d451e48bc57f5115)
![{\displaystyle \times d\rho \,d\theta \,d\omega \,d\rho 'd\theta 'd\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57eb8b0b36d56df138ec0f00102ad68a65647be8)
![{\displaystyle \zeta '=\iiint \!\!\!\iiint \varphi (x',y',z')\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\cos .\rho at.\beta \gamma \rho ^{2}\rho '^{2}\sin .\theta \sin .\theta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ff74f7d0a55a20ac8d2c9900936bde498b2629)
![{\displaystyle \times d\rho \,d\theta \,d\omega \,d\rho 'd\theta 'd\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57eb8b0b36d56df138ec0f00102ad68a65647be8)
en conservant
à la place de leurs valeurs, et posant