Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/816

nent la direction. Après avoir multiplié par l’élément de volume $\rho ^{2}\sin .d\rho \,d\theta \,d\omega$ qui répond à cette sorte de coordonnées, nous étendrons à tous les points de l’espace, l’’intégrale relative à $\rho ,\theta ,\omega \,;$ ce qui exigera qu’on la prenne depuis $\rho =0,$ $\theta =0,$ $\omega =0$ jusqu’à $\rho =0,$ $\theta =\pi ,$ $\omega =2\pi .$ De cette manière, nous aurons

$\left.{\begin{aligned}u&=\iiint \!\!\!\iiint \left[\mathrm {A} \cos .\rho at+\mathrm {A} '{\frac {\sin .\rho at}{\rho a}}-\mathrm {\left({\frac {B\beta }{\alpha }}+{\frac {C\gamma }{\alpha }}\right)} \cos .\rho bt\right.\\&\qquad \left.-\mathrm {\left({\frac {B'\beta }{\alpha }}+{\frac {C'\gamma }{\alpha }}\right)} {\frac {\sin .\rho bt}{\rho b}}\right]\cos .\rho \delta .\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz',\\v&=\iiint \!\!\!\iiint \left[{\frac {\mathrm {A} \beta }{\alpha }}\cos .\rho at+{\frac {\mathrm {A} '\beta }{\alpha }}{\frac {\sin .\rho at}{\rho a}}+\mathrm {B} \cos .\rho bt\right.\\&\qquad \qquad \left.+\mathrm {B} '{\frac {\sin .\rho bt}{\rho b}}\right]\cos .\rho \delta .\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz',\\w&=\iiint \!\!\!\iiint \left[{\frac {\mathrm {A} \gamma }{\alpha }}\cos .\rho at+{\frac {\mathrm {A} '\gamma }{\alpha }}{\frac {\sin .\rho at}{\rho a}}+\mathrm {C} \cos .\rho bt\right.\\&\qquad \qquad \left.+\mathrm {C} '{\frac {\sin .\rho bt}{\rho b}}\right]\cos .\rho \delta .\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz'.\end{aligned}}\right\}$

(5)

Ces formules satisferont aux équations (2) dont elles deviendront les intégrales complètes, lorsqu’on y aura déterminé les six fonctions arbitraires $\mathrm {A,A',B,B',C,C'} ,$ d’après les valeurs initiales de $u,v,w,$ ${\frac {du}{dt}},{\frac {dv}{dt}},{\frac {dw}{dt}}.$

Pour cela, soit

${\begin{alignedat}{3}u=&f(x,y,z),&v=&f'(x,y,z),&w=&f''(x,y,z),\\{\frac {du}{dt}}=&\operatorname {F} (x,y,z),\qquad &{\frac {dv}{dt}}=&\operatorname {F} '(x,y,z),\qquad &{\frac {dw}{dt}}=&\operatorname {F} ''(x,y,z),\end{alignedat}}$

à l’origine du mouvement, ou quand $t=0.$ Représentons par $\varphi (x,y,z),$ l’une de ces six fonctions de $x,y,z\,;$ quelle qu’elle soit, nous aurons