et par celles qui s’en déduisent en y remplaçant
par
On obtient les unes et les autres en substituant les valeurs de
dont il s’agit, dans les équations (2), et égalant les coefficients des termes semblables dans leurs deux membres.
Sans restreindre aucunement les formules (3), nous pouvons prendre à volonté l’une des trois constantes
ou, plus généralement, les réduire à deux quantités indépendantes. Soit donc
![{\displaystyle \alpha =\cos .\theta ,\qquad \beta =\sin .\theta \sin .\omega ,\qquad \gamma =\sin .\theta \cos .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ad37a00036f52075d07e8f7d388d76c58fa07a)
de sorte qu’on ait
Les équations précédentes se réduiront à celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} (3\lambda ^{2}-1)=&2\alpha \mathrm {D} ,\qquad &\mathrm {A} '(3\lambda ^{2}-1)=&2\alpha \mathrm {D} ',\\\mathrm {B} (3\lambda ^{2}-1)=&2\beta \mathrm {D} ,&\mathrm {B} '(3\lambda ^{2}-1)=&2\beta \mathrm {D} ',\\\mathrm {C} (3\lambda ^{2}-1)=&2\gamma \mathrm {D} ,&\mathrm {C} '(3\lambda ^{2}-1)=&2\gamma \mathrm {D} ',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f862751ecd9c3c22b3c34c17b9e4a8c08273781)
où l’on a mis
et
au lieu de
et
et auxquelles on satisfait de deux manières différentes : en prenant
![{\displaystyle \lambda =\pm {\sqrt {\frac {1}{3}}},\qquad \mathrm {A} =-{\frac {\mathrm {B} \beta }{\alpha }}-{\frac {\mathrm {C} \gamma }{\alpha }},\qquad \mathrm {A} '=-{\frac {\mathrm {B} '\beta }{\alpha }}-{\frac {\mathrm {C} '\gamma }{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68b8c1c3ebaf83fe58d4dc3806cf432f5e9b75b)
ou bien, en prenant
![{\displaystyle \lambda \pm 1,\qquad \mathrm {B} ={\frac {\mathrm {A} \beta }{\alpha }},\qquad \mathrm {C} ={\frac {\mathrm {A} \gamma }{\alpha }},\qquad \mathrm {B} '={\frac {\mathrm {A} '\beta }{\alpha }},\qquad \mathrm {C} '={\frac {\mathrm {A} '\gamma }{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad627c9a14188763b07b5926578781bca0351ab)
Il en résultera deux solutions différentes des équations (2) ; et ces équations étant linéaires, on y satisfera encore en ajoutant les valeurs correspondantes des inconnues, c’est-àdire, au moyen