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et par celles qui s’en déduisent en y remplaçant $\mathrm {A,B,C} ,$ par $\mathrm {A',B',C} '.$ On obtient les unes et les autres en substituant les valeurs de $u,v,w,$ dont il s’agit, dans les équations (2), et égalant les coefficients des termes semblables dans leurs deux membres.

Sans restreindre aucunement les formules (3), nous pouvons prendre à volonté l’une des trois constantes $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ ou, plus généralement, les réduire à deux quantités indépendantes. Soit donc

$\alpha =\cos .\theta ,\qquad \beta =\sin .\theta \sin .\omega ,\qquad \gamma =\sin .\theta \cos .\omega ,$

de sorte qu’on ait $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.$ Les équations précédentes se réduiront à celles-ci :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} (3\lambda ^{2}-1)=&2\alpha \mathrm {D} ,\qquad &\mathrm {A} '(3\lambda ^{2}-1)=&2\alpha \mathrm {D} ',\\\mathrm {B} (3\lambda ^{2}-1)=&2\beta \mathrm {D} ,&\mathrm {B} '(3\lambda ^{2}-1)=&2\beta \mathrm {D} ',\\\mathrm {C} (3\lambda ^{2}-1)=&2\gamma \mathrm {D} ,&\mathrm {C} '(3\lambda ^{2}-1)=&2\gamma \mathrm {D} ',\end{alignedat}}$

où l’on a mis $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} '$ au lieu de $\mathrm {A\alpha +B\beta +C\gamma }$ et $\mathrm {A'\alpha +B'\beta +C'\gamma } ,$ et auxquelles on satisfait de deux manières différentes : en prenant

$\lambda =\pm {\sqrt {\frac {1}{3}}},\qquad \mathrm {A} =-{\frac {\mathrm {B} \beta }{\alpha }}-{\frac {\mathrm {C} \gamma }{\alpha }},\qquad \mathrm {A} '=-{\frac {\mathrm {B} '\beta }{\alpha }}-{\frac {\mathrm {C} '\gamma }{\alpha }},$

ou bien, en prenant

$\lambda \pm 1,\qquad \mathrm {B} ={\frac {\mathrm {A} \beta }{\alpha }},\qquad \mathrm {C} ={\frac {\mathrm {A} \gamma }{\alpha }},\qquad \mathrm {B} '={\frac {\mathrm {A} '\beta }{\alpha }},\qquad \mathrm {C} '={\frac {\mathrm {A} '\gamma }{\alpha }}.$

Il en résultera deux solutions différentes des équations (2) ; et ces équations étant linéaires, on y satisfera encore en ajoutant les valeurs correspondantes des inconnues, c’est-àdire, au moyen