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vement à chaque instant sera limitée par deux surfaces planes et parallèles, dont les distances à l’origine des coordonnées sont $\omega t\pm \varepsilon ,$ et dont la normale fait avec les axes de $x,y,z,$ les angles qui ont $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ pour cosinus ; ces trois constantes étant liées entre elles par l’équation :

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.$

Ce mouvement sera donc celui qui se propage par des ondes planes, parallèles et d’une épaisseur constante. Mais pour qu’il puisse avoir lieu dans le fluide que l’on considère, il faut que les valeurs précédentes de $u,v,w,s,$ satisfassent aux équations (4) et (5). Or, en les y substituant et égalant les coefficient de $\varphi q$ et ${\frac {d\varphi q}{dq}},$ dans les deux membres de chaque équation, afin que $\varphi q$ reste une fonction arbitraire, il vient

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}&=a^{2}{\frac {d\mathrm {T} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}=a^{2}{\frac {d\mathrm {T} }{dy}},\qquad {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}=a^{2}{\frac {d\mathrm {T} }{dz}},\\{\frac {d\mathrm {T} }{dt}}&={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\\\mathrm {X} \omega &=a^{2}\mathrm {T} \alpha ,\qquad \mathrm {Y} \omega =a^{2}\mathrm {T} \beta ,\qquad \mathrm {Z} \omega =a^{2}\mathrm {T} \gamma ,\\\mathrm {T} \omega &=\mathrm {X} \alpha +\mathrm {Y} \beta +\mathrm {Z} \gamma .\end{aligned}}$

Si l’on élimine $\mathrm {X,Y,Z} ,$ de la quatrième ou de la dernière équation, au moyen des trois équations intermédiaires, on a

$\omega ^{2}=a^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)=a^{2}.$

Nous prendrons $\omega =a,$ et, par conséquent,

$\mathrm {X} =a\mathrm {T} \alpha ,\qquad \mathrm {Y} =a\mathrm {T} \beta ,\qquad \mathrm {Z} =a\mathrm {T} \gamma \,;$

ce qui tiendra lieu des cinq dernières équations. Les trois premières deviendront ensuite