Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/806

De cette manière, la formule (18) réduite à son second terme, deviendra

$\varphi ={\frac {1}{4\pi r}}\int _{0}^{at}\left(\int _{\varepsilon '}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\psi (r',\mu ',\lambda ')r'dr'd\sigma \right)d\rho ,$

(22)

en désignant par $\varepsilon '$ une quantité positive, égale à $r-\rho ,$ abstraction faite du signe.

Le point $\mathrm {M}$ étant situé en dehors de l’ébranlement primitif, les quantités $\mathrm {U,V,W} ,$ sont nulles (n^o 3); et si nous représentons par $u_{1},v_{1},w_{1},$ les composantes de sa vitesse suivant les mêmes directions que dans le numéro précédent, nous aurons

$u_{1}={\frac {d\varphi }{dr}},\qquad v_{1}={\frac {1}{r}}{\frac {d\varphi }{d\mu }},\qquad w_{1}={\frac {1}{r\sin .\mu }}{\frac {d\varphi }{d\lambda }},\qquad s={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\varphi }{dt}},$

pour déterminer cette vitesse et la dilatation correspondante.

Maintenant, tant qu’on aura $at<r-\varepsilon ,$ il en sera de même à l’égard de la variable $\rho \,:$ la quantité $\varepsilon '$ surpassera $\varepsilon \,;$ et l’on aura $r'>\varepsilon ,$ dans toute l’étendue de l’intégration relative à $r'\,;$ ce qui rendra nulle, la fonction $\psi (r',\mu ',\lambda '),$ et conséquemment la valeur précédente de $\varphi .$ Le mouvement du point $\mathrm {M}$ ne commencera donc pas avant qu’on n’ait $at=r-\varepsilon .$ Lorsque $at$ sera devenu $>r-\varepsilon ,$ la partie de $\varphi$ relative aux valeurs de $\rho$ moindres que $r-\varepsilon ,$ sera encore nulle, et l’on pourra ne faire commencer l’intégrale relative à cette variable qu’à partir de $\rho =r-\varepsilon \,;$ en faisant donc,

$\rho =r-\varepsilon +\rho ',\qquad d\rho =d\rho ',$

l’intégrale relative à $\rho '$ s’étendra depuis $\rho '=0$ jusqu’à $\rho '=at-r+\varepsilon \,;$ le rayon $r$ disparaîtra des valeurs de $\mu '$ et $\lambda '$ qui ne sont fonctions que de la différence $r-\rho \,;$ et l’on aura