(10) Relativement à la formule (18), il nous suffira d’en considérer le second terme, puisque le premier est le même que dans la formule (19) dont nous venons de nous occuper. Or, l’angle
étant le même que précédemment, les équations (17) donnent
![{\displaystyle r'^{2}=(r-\rho )^{2}+4r\rho \cos .^{2}m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e55248791907474fc47226564ad05270fa5ba4)
de plus la variable
devant être très-petite, pour que la valeur de
dont il s’agit, ne soit pas nulle, il faudra que la différence
soit aussi très-petite ; et par ces considérations, on transformera d’abord l’intégrale double
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\psi (r',\mu ',\lambda ')\rho \sin .\theta \,d\theta \,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4b041170a7272b6d42f621b0dd4053b14fbe09)
en celle-ci :
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}\int _{0}^{\delta }\int _{0}^{2\pi }\psi (r',\mu ',\lambda ')s\,ds\,d\sigma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee544d9f9131ed2ce9c3ebf1ad8918b6bb826da)
dans laquelle on a
![{\displaystyle \delta ={\sqrt {\varepsilon ^{2}-(r-\rho )^{2}}},\qquad r'={\sqrt {s^{2}+(r-\rho )^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a7a38c66bda6be8862dd3284fb858163030da1)
et où les valeurs de
et
seront données par les formules :
![{\displaystyle \cos .\mu '={\frac {r-\rho }{r'}}\cos .\mu -{\frac {1}{r'}}{\sqrt {r'^{2}-(r-\rho )^{2}}}\sin .\mu \sin .\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af00525b3fbe8ab06954a8fd38a3014dff77f927)
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda '=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca31d1fd4813c9c71e6c2a0ed6b735f767d85a5)
![{\displaystyle {\frac {(r-\rho )\sin .\mu \sin .\lambda +{\sqrt {r'^{2}-(r-\rho )^{2}}}(\sin .\mu \sin .\lambda \sin .\sigma -\cos .\lambda \cos .\sigma )}{(r-\rho )\sin .\mu \cos .\lambda +{\sqrt {r'^{2}-(r-\rho )^{2}}}(\sin .\mu \cos .\lambda \sin .\sigma +\sin .\lambda \cos .\sigma )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348f383ddfd0181b7fdbe7730091aeaf11fb1311)
Si l’on substitue ensuite
à
dans l’intégration relative à cette dernière variable, on aura
et comme
est une quantité positive, les limites qui répondent à
et
seront
et
en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que
sera
ou ![{\displaystyle >r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba950325b3d09f46ad7dd213c0892a2579e85bc9)