et de plus
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d^{2}\varpi }{d\omega ^{2}}}d\omega =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a9a86791316ae2440819bd5a89c34ce25d23c4)
à cause que les valeurs de
qui répondent à
et
sont égales entre elles. On aura donc simplement
![{\displaystyle \int _{0}^{at}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dz^{2}}}\right)\rho \sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f258900c3cb58c994a339f0cd59845815343348c)
![{\displaystyle ={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\varpi 't\sin .\theta \,d\theta \,d\omega -4\pi f(x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6dfde46699c6b00b495b32720efe7d871c4424)
Donc, en vertu de l’équation (15), et en faisant
![{\displaystyle \varphi +f(x,y,z)=\varphi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cf127668d36c6b8fd6e9474e4e4b79f6a57dad)
la formule (14) deviendra
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(16)
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ce qui est effectivement vrai, en observant qu’on a
![{\displaystyle \varphi =0,\qquad \varphi _{1}=f(x,y,z),\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {d\varphi _{1}}{dt}}=\operatorname {F} (x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddbb0b94e317fd3a9a1323597e191af7540c160)
quand
et que l’équation (8) se change en celle-ci :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi _{1}}{dz^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46a93c027c05bd32f09187cd813111513a409e3)
dont l’intégrale complète est l’équation (16), d’après la formule (10) citée plus haut.