les limites de ces six intégrales étant
Si donc, nous faisons
![{\displaystyle \varphi =\varphi '+{\frac {1}{8\pi ^{3}}}\iiint \!\!\!\iiint \psi (x',y',z')\cos .\left[\alpha (x-x')\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262cf18cfd3b840cd433b3a2118ae74893bef43e)
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(9)
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l’équation (8) deviendra
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dz^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc491d197af0658a6e785344e99de2d12f7256e)
Or, j’ai trouvé, dans un autre Mémoire,
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(10)
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pour l’intégrale complète de cette dernière équation ;
désignant le rapport de la circonférence au diamètre, et
et
étant les deux fonctions arbitraires, lesquelles sont telles que l’on a
![{\displaystyle \varphi '=\Pi (x,y,z),\qquad {\frac {d\varphi '}{dt}}=\operatorname {F} (x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33c6113227bd7777d4833617000db739ff945af)
quand
Donc, à cause de
pour cette valeur de
et, en vertu de l’équation (9),
sera la valeur initiale de
et l’on aura
![{\displaystyle \Pi (x,y,z)=-{\frac {1}{8\pi ^{3}}}\iiint \!\!\!\iiint \psi (x',y',z')\cos .\left[\alpha (x-x')\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cdf274e099d9a9f7c67c7a891f5309c4eed0ce)
![{\displaystyle \left.+\beta (y-y')+\gamma (z-z')\right]{\frac {d\alpha \,d\beta \,d\gamma \,dx'dy'dz'}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1eb556c22ae74adf9c2e06177f1341a7d98a11)