dans les petits mouvements des fluides, les trois composantes
de la vitesse de chaque molécule, sont les différences partielles relatives à
d’une fonction de
Cela revient à faire égales à zéro, les trois quantités
hypothèse qui ne conduirait qu’à une solution particulière des équations (4) et (5) ; et, en effet, il est évident que la formule
ne peut être une différentielle exacte à trois variables indépendantes, pendant toute la durée du mouvement, à moins que cette condition ne soit remplie à l’origine ; ce qui n’a pas lieu nécessairement. Nous supposerons qu’on a
quand
les trois fonctions
arbitraires et indépendantes l’une de l’autre, seront alors les valeurs initiales de
La valeur de
qui répond à
sera une quatrième fonction arbitraire, qui représentera la dilatation initiale en un point quelconque du fluide ; et dans chaque cas particulier, cette valeur et celles de
seront données en fonctions de ![{\displaystyle x,y,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb673ad6f63dc00449c2f0b9999f051e9de36ce8)
Cela posé, si l’on substitue les formules (6) et (7) à la place de
dans l’équation (5), et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {W} }{dz}}=\psi (x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e7e444e2dd27c66d25343ddc8d80733308bbdc)
on aura
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(8)
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Mais quelle que soit la fonction
on a, d’après la formule de Fourier étendue à trois variables,
![{\displaystyle \psi (x,y,z)={\frac {1}{8\pi ^{3}}}\iiint \!\!\!\iiint \psi (x',y',z')\cos .\left[\alpha (x-x')\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a08f120727310df726cd56589d8b5fac5dd1b6d)
![{\displaystyle \left.+\beta (y-y')+\gamma (z-z')\right]d\alpha \,d\beta \,d\gamma \,dx'dy'dz'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b16616440b6060d5a280ffca530d7fbdd40352)