De là
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z'-Z} }{2}}={\frac {z'-z}{2}}+{\frac {dz'-dz}{2}}+{\frac {n'-n}{2}}.\mathrm {\frac {K}{R}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323b073e02d70ed4e3738d98ae477f74f8738a29)
et pour véritable différence de niveau partielle
![{\displaystyle x+dx=\mathrm {\frac {K}{\cos .{\frac {1}{2}}\left({\frac {K}{R}}\right)}} .\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}(z'-z)+{\frac {\mathrm {K} }{2}}(dz'-dz)+\mathrm {\frac {K^{2}}{2R}} (n'-n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1d8654ee652e0063964d74167b36da4553fba5)
dans la supposition toutefois que la base
est exactement connue. Si au contraire elle est entachée d’une erreur
on aura alors, en faisant
et
pour abréger, et prenant pour
sa longueur kau niveau de la mer,
![{\displaystyle dx=vdk-{\frac {k}{2}}dz+{\frac {k}{2}}dz'+{\frac {k^{2}}{2\mathrm {R} }}dn.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2da38c92fed886792ed3b85bc052103e7520e2)
Chaque nivellement partiel donnera évidemment une équation semblable ; ainsi lorsque
est la différence de niveau des deux points extrêmes de la chaîne de triangles, on a, en supposant ![{\displaystyle \cos .{\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{\mathrm {R} }}\right)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb3c4f839c5f8e6ecff67d5ab301e5a7aeb4aa2)
![{\displaystyle \mathrm {X} =k_{1}\operatorname {tang} .v_{1}+k_{2}\operatorname {tang} .v_{2}+k_{3}\operatorname {tang} .v_{3}\ldots +k_{(i)}\operatorname {tang} .v_{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c451317b263515288119c4b79757f7a9fa64a1)
étant le nombre de ces nivellements partiels ; et sa différentielle
a généralement pour expression
![{\displaystyle d\mathrm {X} =\sum (vdk)-\sum \left({\frac {k}{2}}dz\right)+\sum \left({\frac {k}{2}}dz'\right)+\sum \left({\frac {k^{2}}{2\mathrm {R} }}dn\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43ce78da788aaac5f80eb7599f2e104ff9dee52)
désignant la somme de tous les termes pareils à celui que cette caractéristique précède. Il résulte delà et de la règle générale énoncée ci-dessus pour déterminer l’erreur probable de
que cette erreur est
(1)
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