il viendra, à cause de l’expression (D), IIIe cas,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega '&=y+{\frac {1}{4}}\varepsilon \mathrm {P} \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]\\&-{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\mathrm {P} \sin .^{4}\lambda \left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} ^{(1)}+\mathrm {A} ^{(2)}\right]\\&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\mathrm {Q} \sin .^{4}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98458d053555ae95f6baca7da7e365c746a9ecfd)
ou désignant par
tous les termes en
on aura
![{\displaystyle \omega ''-\omega '=\omega ''-y-\mathrm {R} =\varphi +\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ffad9d44e931b29d18779c411e1296901f0d6d)
de là
![{\displaystyle \omega ''-y=\varphi +\mu +\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29118b6f6c4db87643a6687b01a270b623231bed)
et
![{\displaystyle \operatorname {tang} .(\varphi +\mu +\mathrm {R} )={\frac {\operatorname {tang} .\omega ''-\operatorname {tang} .y}{1+\operatorname {tang} .\omega ''\operatorname {tang} .y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd4a18ca9bb11ac273e1eda6658ceca873df32f)
ou bien soit
et mettant pour
sa valeur, on fle trouvera
![{\displaystyle \operatorname {tang} .(\varphi +\psi )={\frac {\cos .\lambda \sec .^{2}\sigma ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\cos .^{2}\lambda +\operatorname {tang} .^{2}\sigma ''-\sin .\lambda \operatorname {tang} .\sigma ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093699285b1f320570d3a7ab5a7d58eea2bee03b)
enfin introduisant ici les valeurs suivantes :
![{\displaystyle \cos .\lambda =\cos .\lambda ''\sin .\mathrm {V} '',\qquad \cos .\sigma ''={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda }},\qquad \sin .\sigma ''={\frac {\cos .\lambda ''\cos .\mathrm {V} ''}{\sin .\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee423e9fbdb56ca8c67cd4c041308a16bb07089)
on obtiendra, après les réductions,
(b)
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Il est évident, par ce résultat semblable à celui que M. Oriani a obtenu dans la même circonstance (Éphémérides de Milan, 1808), que
n’est plus fonction que de la seule variable