et
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+\mathrm {M} \mu \cot .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ff6fe134730596388b2be834b95d4fa4cb6682)
D’un autre côté la relation
donnera, en y mettant pour
sa valeur actuelle,
![{\displaystyle \sigma '=\sigma '_{0}-\mathrm {M} \mu \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma '_{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55511c9b446e2ad0fc1eef125fc3369a36211f1)
en faisant
![{\displaystyle \sin .\sigma '_{0}=\cot .\mathrm {V} '\cot .\lambda _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b43823c091381b4f12485733e8815e7cceb59a)
Par la même raison
![{\displaystyle \sigma ''=\sigma ''_{0}-\mathrm {M} \mu \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ec4fdb5f793c45d88893df9feb99afd0a8f67c)
lorsque
ainsi
![{\displaystyle \sigma ''-\sigma '=\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}-\mathrm {M} \mu \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''{\frac {\sin .(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})}{\cos .\sigma ''_{0}\cos .\sigma '_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5647a9c0a32c407ed8ee4c6e0d1c772430cdaa9)
Substituant cette valeur et celle de
dans la série (B’) du § II ; puis développant, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=\varphi +\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda _{0}-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda _{0}\left(6+\sin .^{2}\lambda _{0}\right)\right]\\&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\left(\sin .2\sigma ''_{0}-\sin .2\sigma '_{0}\right)\\&-{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\left[\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}+{\frac {\sin .(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})}{\sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\sigma ''_{0}\cos .\sigma '_{0}}}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b9bf92bb597b63fc37c3497d1106a8cc3ed6d8)
après quoi l’on déterminera
![{\displaystyle \sin .\lambda ''=\mathrm {\frac {\cos .V''\cos .\omega -\cos .V'}{\sin .V''\sin .\omega }} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073fcacd67c26ea0ef3520eafd2468157bcd1caf)
Mais pour avoir directement
par la série de Maclaurin, fandrait évaluer le coefficient différentiel du second ordre ; ce qui donnerait
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}\lambda ''}{d\mu ^{2}}}\right)=\mathrm {-M\cot .\varphi +\operatorname {tang} .L''\left(1+\cot .^{2}\varphi +M^{2}\right)=N} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c14d7df0aa38c831b1407d14a8769b7923f707)