![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\sin .2\sigma _{0}''-\sin .2\sigma _{0}'\right)=\mathrm {A} _{0}^{(1)},\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}\left(\sin .4\sigma _{0}''-\sin .4\sigma _{0}'\right)=\mathrm {A} _{0}^{(2)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08901ca0fc40d050dc9c015cbb60f52ca021cadd)
on trouvera en dernière analyse
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{b}}=&\sigma ''-\sigma '+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[\sigma ''-\sigma '+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {M} \varepsilon ^{2}(\sigma ''-\sigma ')\cos .^{3}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \left[\sigma ''-\sigma '+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2}}\left(\cot .\sigma _{0}''\cos .2\sigma _{0}''-\cot .\sigma _{0}''\cos .2\sigma _{0}'\right)\right]\\&-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[{\frac {3}{4}}(\sigma ''-\sigma ')+\mathrm {A} _{0}^{(1)}+{\frac {1}{8}}\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5034657a9e7b0d06a216a76d9f0d81c03d031fd6)
Nous avons donné à la fin de ce Ménioire une application numérique de la première solution de ce problème.
VIIIe cas. Les éléments connus du triangle sphéroïdique sont
et
on demande la latitude
et les autres parties de ce triangle.
Solution. Après avoir calculé la latitude réduite
et fait, comme ci-dessus
on déduira de la relation
![{\displaystyle \cot .\mathrm {V} ''\sin .(\varphi +\mu )=\operatorname {tang} .\lambda '\cos .\lambda ''-\cos .(\varphi +\mu )\sin .\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ff6130bb00b43a3a08e5d844353d896d6c0259)
qui a lieu sur la sphère inscrite, la valeur du coefficient différentiel
correspondante à
et l’on y désignera par
celle que prend alors
On trouvera
![{\displaystyle \left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)={\frac {\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''-\cos .\varphi \operatorname {tang} .\lambda '}{\sin .\varphi \left(\operatorname {tang} .\lambda '\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''+\cos .\varphi \right)}}=\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956ce17ed4dcea03ab47d0dc77389fa928a81b19)
et les deux valeurs de
se tireront de la formule
![{\displaystyle \cot .\mathrm {V} ''\sin .\varphi =\operatorname {tang} .\lambda '\cos .\mathrm {L} ''-\cos .\varphi \sin .\mathrm {L} ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29725c7fee55a47e312726d1923bef3cd93a4803)
Cela fait on aura
![{\displaystyle \lambda ''=\mathrm {L''+M} \mu +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790b72923dde98a2c17f00a86036b879fc1a5780)