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${\frac {1}{2}}\left(\sin .2\sigma _{0}''-\sin .2\sigma _{0}'\right)=\mathrm {A} _{0}^{(1)},\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}\left(\sin .4\sigma _{0}''-\sin .4\sigma _{0}'\right)=\mathrm {A} _{0}^{(2)},$

on trouvera en dernière analyse

${\begin{aligned}{\frac {s}{b}}=&\sigma ''-\sigma '+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[\sigma ''-\sigma '+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]\\&-{\frac {1}{4}}\mathrm {M} \varepsilon ^{2}(\sigma ''-\sigma ')\cos .^{3}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \left[\sigma ''-\sigma '+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2}}\left(\cot .\sigma _{0}''\cos .2\sigma _{0}''-\cot .\sigma _{0}''\cos .2\sigma _{0}'\right)\right]\\&-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[{\frac {3}{4}}(\sigma ''-\sigma ')+\mathrm {A} _{0}^{(1)}+{\frac {1}{8}}\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right].\end{aligned}}$

Nous avons donné à la fin de ce Ménioire une application numérique de la première solution de ce problème.

VIII^e cas. Les éléments connus du triangle sphéroïdique sont $\mathrm {H'V''}$ et $\varphi ,$ on demande la latitude $\mathrm {H} ''$ et les autres parties de ce triangle.

Solution. Après avoir calculé la latitude réduite $\lambda '$ et fait, comme ci-dessus $\omega =\varphi +\mu =\omega ''-\omega ',$ on déduira de la relation

$\cot .\mathrm {V} ''\sin .(\varphi +\mu )=\operatorname {tang} .\lambda '\cos .\lambda ''-\cos .(\varphi +\mu )\sin .\lambda ,$

qui a lieu sur la sphère inscrite, la valeur du coefficient différentiel $\left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)$ correspondante à $\mu =0,$ et l’on y désignera par $\mathrm {L} ''$ celle que prend alors $\lambda ''.$ On trouvera

$\left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)={\frac {\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''-\cos .\varphi \operatorname {tang} .\lambda '}{\sin .\varphi \left(\operatorname {tang} .\lambda '\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''+\cos .\varphi \right)}}=\mathrm {M} ,$

et les deux valeurs de $\mathrm {L} ''$ se tireront de la formule

$\cot .\mathrm {V} ''\sin .\varphi =\operatorname {tang} .\lambda '\cos .\mathrm {L} ''-\cos .\varphi \sin .\mathrm {L} ''.$

Cela fait on aura

$\lambda ''=\mathrm {L''+M} \mu +\ldots$