dessus. Toute opération faite on trouvera directement
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'&=\mathrm {Z+M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\left(6+\sin .^{2}\lambda _{0}\right)\right]\cos .\lambda _{0}\\&-{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\left(\sin .2\sigma ''_{0}-\sin .2\sigma '_{0}\right)\\&+{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} ^{2}\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \left[\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}+\cot .^{2}\lambda _{0}{\frac {\sin .\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)}{\sin .\sigma ''_{0}\sin .\sigma '_{0}}}\right]\\&+{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\mathrm {N} \cos .^{2}\lambda _{0}\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c88c09900e5d1a3de9593ba07e2fac131d0567d)
Soit qu’on procède de la sorte pour calculer exactement
soit qu’on emploie la méthode trigonométrique ci-dessus, on parviendra au même résultat numérique.
Si l’on voulait déterminer la ligne géodésique
indépendamment de la valeur exacte de
on déduirait d’abord l’arc
de la relation
![{\displaystyle \cos .\sigma =\sin .\lambda ''\sin .\lambda '+\cos .\lambda ''\cos .\lambda '\cos .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58375b9e963ba77c4e4049dfeebd91b30f66ab6e)
dans laquelle on prendrait pour
sa valeur trouvée ci-dessus ; puis l’on aurait recours aux valeurs approchées de
obtenues plus haut, lesquelles donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin .^{2}\lambda =\sin .^{2}\lambda _{0}-2\mathrm {M} \mu \cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \\&\sin .2\sigma '\,=\sin .2\sigma '_{0}-2\mathrm {M} \mu \cot .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\cot .\mathrm {Z} \cot .^{2}\lambda _{0}\\&\sin .2\sigma ''=\sin .2\sigma ''_{0}-2\mathrm {M} \mu \cot .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}\cot .\mathrm {Z} \cot .^{2}\lambda _{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27595877b7f2931680595517f5c674e3af80c902)
et où l’on a
![{\displaystyle \mu =\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda _{0}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca688a03a1823a90dde62e3d095a37fc012389)
enfin l’on introduirait le tout dans la série (A’) qui donnerait alors la ligne cherchée. Si l’on effectue cette opération, et qu’on ne retienne, comme de coutume, que les termes du premier et du second ordre ; que de plus on fasse pour abréger