Ayant obtenu ainsi la valeur de
on calculera celle de
au moyen de cette relation
![{\displaystyle \operatorname {tang} .z'={\frac {\sin .\omega }{\cos .\lambda '\operatorname {tang} .\lambda ''-\sin .\lambda '\cos .\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd8f363c3de276f373ea48eea97e0e34b33f799)
puis l’on aura exactement
![{\displaystyle \cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .z',\qquad \cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }},\qquad \cos .\sigma ''={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35e6be997b9a8b6d175c072f6cc8df553f9ade1)
Enfin la plus courte distance
cherchée se tirera de la formule (A’) dans laquelle tous les termes du second membre seront connus au degré d’exactitude requis, et l’azimut
sera donné par cette relation
![{\displaystyle \sin .\mathrm {V} ''={\frac {\cos .\lambda '}{\cos .\lambda }}\sin .\mathrm {V} '={\frac {\cos .\lambda '}{\cos .\lambda }}\sin .z',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1310d9052dd60028b12448732b5618d658fad06d)
puisque ![{\displaystyle \mathrm {V} '=180^{\circ }-z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7dfb492d51660ce57d5b06a094984b4b7b36671)
En prolongeant jusqu’aux termes du second ordre inclusivement la série qui représente la valeur de
on trouverait pour celle du coefficient différentiel
la suivante :
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}z'}{d\mu ^{2}}}\right)=\left({\frac {dz'}{d\mu }}\right)\left(\cot .\varphi \cos .2\mathrm {Z} -\sin .2.\mathrm {Z} \sin .\lambda '\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\sin .2\mathrm {Z} }{\sin .^{2}\varphi }}=\mathrm {N} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2396312e48755cafffb5b29f21ea00db60d9b58f)
ainsi
![{\displaystyle z'=\mathrm {Z+M\mu +{\frac {1}{2}}N} \mu ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f632ec97b91c1ea0669c0ba68a8a8c42ec470b)
ayant soin ici de mettre pour
sa valeur exacte
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\left(\sigma ''-\sigma '\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda \left(6+\sin .^{2}\lambda \right)\right]\\&-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \left[{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3dfd0840a1c8088301800980481c8e9b5d03a4)
laquelle s’obtiendra, en quantités connues, en y substituant pour
et
leurs valeurs approchées données ci-