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Ayant obtenu ainsi la valeur de $\omega =\omega ''-\omega ',$ on calculera celle de $z'$ au moyen de cette relation

$\operatorname {tang} .z'={\frac {\sin .\omega }{\cos .\lambda '\operatorname {tang} .\lambda ''-\sin .\lambda '\cos .\omega }}\,;$

puis l’on aura exactement

$\cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .z',\qquad \cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }},\qquad \cos .\sigma ''={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda }}.$

Enfin la plus courte distance $s$ cherchée se tirera de la formule (A’) dans laquelle tous les termes du second membre seront connus au degré d’exactitude requis, et l’azimut $\mathrm {V} ''$ sera donné par cette relation

$\sin .\mathrm {V} ''={\frac {\cos .\lambda '}{\cos .\lambda }}\sin .\mathrm {V} '={\frac {\cos .\lambda '}{\cos .\lambda }}\sin .z',$

puisque $\mathrm {V} '=180^{\circ }-z'.$

En prolongeant jusqu’aux termes du second ordre inclusivement la série qui représente la valeur de $z',$ on trouverait pour celle du coefficient différentiel $\left({\frac {d^{2}z'}{d\mu ^{2}}}\right)$ la suivante :

$\left({\frac {d^{2}z'}{d\mu ^{2}}}\right)=\left({\frac {dz'}{d\mu }}\right)\left(\cot .\varphi \cos .2\mathrm {Z} -\sin .2.\mathrm {Z} \sin .\lambda '\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\sin .2\mathrm {Z} }{\sin .^{2}\varphi }}=\mathrm {N} \,;$

ainsi

$z'=\mathrm {Z+M\mu +{\frac {1}{2}}N} \mu ',$

ayant soin ici de mettre pour $\mu$ sa valeur exacte

${\begin{aligned}\mu &=\left(\sigma ''-\sigma '\right)\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda \left(6+\sin .^{2}\lambda \right)\right]\\&-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \left[{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right],\end{aligned}}$

laquelle s’obtiendra, en quantités connues, en y substituant pour $\sigma ''-\sigma '$ et $\cos .\lambda$ leurs valeurs approchées données ci-