triangle à résoudre, on aura, en appelant
l’angle intérieur formé par le côté
et le méridien de ![{\displaystyle \lambda ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e0782e8a2222f3474b4ab1af48fb4d181e27cc)
(E)
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Il est donc évident que si
est la valeur de
lorsque
on aura
![{\displaystyle z'=\mathrm {Z} +\left({\frac {dz'}{d\mu }}\right)\mu +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}z'}{d\mu ^{2}}}\right)\mu +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a630a191b279e1b51fe42e24d7136b42364922)
Pour tirer de la relation précédente la valeur des coefficients différentiels, on prendra d’abord celle de
ensuite-on la différenciera par rapport à
et
et après avoir fait
on trouvera
![{\displaystyle \left({\frac {dz'}{d\mu }}\right)=\cot .\varphi \mathrm {\sin .Z\cos .Z-\sin .\lambda '\sin .^{2}Z=M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af74edaadb2ccc64967e8faf81da16bc2e2a039)
puisque
se change en
et alors on aura
(E’)
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ainsi donc
![{\displaystyle z'=\mathrm {Z+M} \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e4d4d504e374909898a8658280af425e03c1a4)
Nous négligeons, comme de coutume, les autres termes de la série qui sont inutiles, vu que, dans le résultat cherché, nous bornons le degré d’approximation aux termes du second ordre en ![{\displaystyle \varepsilon ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cb51b16bd043aa3ad00f662f8ba6549cdde83)
Si nous prenons maintenant la relation
on aura
![{\displaystyle \cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .(\mathrm {Z+M} u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5131457b2ffc414f5eb135ced260c7b669cc70a6)
d’où il est facile de conclure que
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}-\mathrm {M} \mu \cot .\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} =\lambda _{0}-u',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5978ebf94c3891cc844bd61373fff934162f6fc)