Ayant de cette manière la valeur de
développée jusqu’aux quantités du second ordre inclusivement, on passera à celle de
qui se tirera de la relation
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda '=\mathrm {\frac {\sin .\omega +\operatorname {tang} .V''\sin .\lambda ''\cos .\omega }{tang.V''\cos .\lambda ''}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f8ffe1b836f8c615f2e228c9504ba3896c0558)
plus l’on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\mathrm {H} '={\frac {a}{b}}\operatorname {tang} .\lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f68e7cdf2caa393c838208b8b72a01147c1a2c)
Quant à la ligne géodésique
à l’azimut
et à la latitude
on en obtiendra les valeurs à l’aide des formules (2), (3), (A’) du § II.
Si l’on veut maintenant prolonger la série qui donne
rien n’est plus facile ; car la valeur exacte de
est donnée par l’ensemble des termes en
et
dans celle de
et l’on a d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\mu ^{2}}}\right)&=-2\left({\frac {d\lambda '}{d\mu }}\right)^{2}\operatorname {tang} .\mathrm {L'-\sin .L'\cos .L'} \\\mu ^{2}&={\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\left(\sigma ''-\sigma '_{0}\right)^{2}\cos .^{2}\lambda .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54adde1b581a65226b2a2b6a9ab03999c1362cd3)
VIIe cas. Étant données les latitudes
des extrémités de la ligne de plus courte distance
et la différence en longitude
trouver cette ligne et les angles qu’elle fait avec les deux autres cótés du triangle sphéroïdique.
Solution. Soit, comme dans le problème précédent,
la différence de longitude sur la sphère inscrite ; la série (B’) donnera, en désignant par
tous les termes en
et
![{\displaystyle \omega =\varphi +\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d726097626b3e8876adc40ea4fba645a2c725f21)
et si l’on considère le triangle sphérique correspondant au