per en ne retenant, comme à l’ordinaire, que les termes en
et
Effectuant ces opérations, on aura pour résultat,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]-{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]^{2}\\&+{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]\left[\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}-\operatorname {tang} .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\right]\\&+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} _{0}^{(1)}+\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22c313fe35d6370da03252041b9c09fbeef9d70)
Enfin de cette valeur on passera à celle de
que donnera la relation ci-dessus ; après quoi les autres parties du triangle s’obtiendront sans difficulté.
Il est évident qu’on prolongerait la série qui donne
comme on l’a fait dans le problème précédent pour avoir directement
VIe cas. Connaissant la latitude
l’azimut
en ce point et la différence
de longitude des extrémités de la ligne géodésique
inconnue, résoudre le triangle.
Solution. Faisons pour abréger
et désignons par
tous les termes en
dans la série (B’) du § II ; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(\sigma ''-\sigma ')\left[\left({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}\right)\cos .\lambda -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \right]\\&-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \left[{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cf8a385e54cf47a88dfd9234c9d08c1e37c515)
et
![{\displaystyle \omega =\varphi +\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3297cedb6635394580b10759bcc30dbbbad57a)
On sait d’ailleurs que le triangle sphérique, correspondant au triangle sphéroïdique, donne
![{\displaystyle \cos .\mathrm {V} ''\sin .\omega +\sin .\mathrm {V} ''\sin .\lambda ''\cos .\omega =\sin .\mathrm {V} ''\cos .\lambda ''\operatorname {tang} .\lambda ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14eb2f1f04b45e2fe08f08735f31780bc8641468)