en vertu de la notation employée dans le problème précédent. De plus
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin .\lambda \ \ &=\sin .\lambda _{0}+\mathrm {M} \tau \cot .\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\\\sin .^{2}\lambda &=\sin .^{2}\lambda _{0}+2\mathrm {M} \tau \cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ca9126d56b572725c783846b99621ab835bb1d)
Introduisant ces valeurs dans la série (A’’), il viendra d’abord
![{\displaystyle \sigma ={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} ^{(1)}+\mathrm {A} ^{(2)}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b96e7e52f92e19aaa83b00afd0840456fcb8b44)
puis faisant attention que
aux quantités près du second ordre ; on aura définitivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ={\frac {s}{b}}-&{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]+{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]^{2}\\-&{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]\times \\&\qquad \qquad \left[\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}+\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\right]\\+&{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} _{0}^{(1)}+\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3322f3cc5803636cac12fa08401ebd28a16c74)
Cette valeur étant trouvée, on déterminera celle de
à l’aide de la relation d’où nous sommes partis ; enfin les formules (2) (3) et (B’) du § II feront connaître la latitude réduite
et la longitude ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
La valeur exacte de
étant représentée dans la série précédente, par tous les termes en
et
il suffirait de l’introduire dans celle de
donnée elle-même en série qu’on prolongerait alors jusqu’aux termes du second ordre. Dans ce cas l’on aurait
![{\displaystyle \left({\frac {d^{2}\lambda ''}{d\tau ^{2}}}\right)=\left\{\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right){\frac {\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\cos .^{2}\mathrm {L} ''}}+{\frac {\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''}{\cos .^{2}{\frac {s}{b}}}}\right\}\left\{{\frac {1+\cos .\mathrm {V} ''\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right)}{1-\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\cos .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148144862ffdea165efb1f33aacba4f545d4d718)