IVe cas. Les quantités connues sont
et
trouver
et
c’est-à-dire étant donnés deux côtés et l’angle opposé à l’un deux, trouver les autres parties du triangle.
Solution. De la latitude vraie
on passera à la latitude réduite
et si, pour abréger, l’on fait, comme ci-dessus,
le triangle sphérique correspondant au triangle sphéroïdique donnera
![{\displaystyle \sin .\lambda '=\sin .\lambda ''\cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)+\cos .\lambda ''\sin .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)\cos .\mathrm {V} ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6531c9846e7e3680cc5b87239dd652646688fcd3)
Différenciant en faisant varier
et
puis représentant par
ce que devient
lorsque
on aura
![{\displaystyle \left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right)={\frac {\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}-\cos .\mathrm {V} ''}{1-\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\cos .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}}=\mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cde40f208f55fea8ed6c3f43fa2aaa8dba8d3ff)
Quant à la valeur de
elle se tirera évidemment de la relation
![{\displaystyle \sin .\lambda '=\sin .\mathrm {L} ''\cos .{\frac {s}{b}}+\cos .\mathrm {L} ''\sin .{\frac {s}{b}}\cos .\mathrm {V} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffcffb8c1f1ce151816089a85db24c06d61d914)
qui fournira nécessairement deux valeurs. On voit donc qu’en général
![{\displaystyle \lambda ''=\mathrm {L} ''+\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right)\tau +\ldots =\mathrm {L''+M} \tau +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4448cd7cf740b1be6ad3fe87cb6531615c45e53a)
D’un autre côté, à cause de
on a
![{\displaystyle \cos .\lambda =\cos .\left(\mathrm {L''+M} \tau \right)\sin .\mathrm {V} ''\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddb2c40bec65cde32d3f5a78d11410609ccb356)
ainsi en appelant
la valeur de
correspondante à
on trouve, aux quantités près du second ordre, et parce que
on trouve, disons-nous
![{\displaystyle \cos .\lambda =\cos .\lambda _{0}-\mathrm {\mathrm {M} } \tau \cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6ef211a33adf2b7641d6e7fb358a35639988d9)