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On voit donc qu’en général

$\sigma ''-\sigma '={\frac {s}{b}}+\mathrm {P} \varepsilon +\mathrm {Q} \varepsilon ^{2}+\ldots \,;$

(A’’’)

ainsi on aura à fort peu près

${\begin{aligned}\sin .2\sigma ''&=\sin .2\left(\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)+2\mathrm {P} \varepsilon \cos .2\left(\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)\\\sin .4\sigma ''&=\sin .4\left(\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)\,;\end{aligned}}$

de là

$\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma '=\sin .2\left(\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)-\sin .2\sigma '+2\mathrm {P} \varepsilon \cos .2\left(\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)$

et

$\sin .4\sigma ''-\sin .4\sigma '=\sin .4\left(\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)-\sin .4\sigma ',$

ou bien

${\begin{aligned}\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma '&=2\cos .\left(2\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)\sin .{\frac {s}{b}}+2\mathrm {P} \varepsilon \cos .2\left(\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)\\\sin .4\sigma ''-\sin .4\sigma '&=2\cos .\left(4\sigma '+2{\frac {s}{b}}\right)\sin .2{\frac {s}{b}}.\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans (A’’) et comparant la série résultante, terme à terme, à celle hypothétique (A’’’), on trouvera

$\mathrm {P} =-{\frac {1}{4}}{\frac {s}{b}}\sin .2\lambda -{\frac {1}{4}}\sin .^{2}\lambda \sin .{\frac {s}{b}}\cos .\left(2\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)\,;$

alors éliminant ce coefficient $\mathrm {P}$ de la série (A‘‘), il viendra définitivement

$\left.{\begin{aligned}\sigma ''&=\sigma '+{\frac {s}{b}}\left(1-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda +{\frac {7}{64}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&-\sin .{\frac {s}{b}}\cos .\left(2\sigma '+{\frac {s}{b}}\right)\left({\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&+{\frac {s}{b}}\cos .\left(2\sigma '+2{\frac {s}{b}}\right)\left({\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&+\sin .{\frac {s}{b}}\cos .(2\sigma '+{\frac {s}{b}})\cos .\left(2\sigma '+2{\frac {s}{b}}\right)\left({\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&+\sin .2{\frac {s}{b}}\cos .\left(4\sigma '+2{\frac {s}{b}}\right)\left({\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\,;\end{aligned}}\right\}$

(Aiv)