IIe cas. Connaissant la latitude
l’azimut
et la longueur
de la ligne géodésique ; déterminer la latitude
l’azimut
et la différence de longitude
Solution. On commencera par évaluer
et
au moyen des relations
![{\displaystyle \cos .\lambda =\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} ',\qquad \cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }},\qquad \operatorname {tang} .\omega '={\frac {\operatorname {tang} .\sigma '}{\cos .\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647873c10b5cf8bd979ce90f564ea8106c912e94)
dans lesquelles
est donné par la formule
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda '={\frac {b}{a}}\operatorname {tang} .\mathrm {H} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b76879f524245acccbbb419217607bb3bb0f3fd)
ensuite on déterminera
en retournant la serie (A’) par le procédé suivant déjà employé à l’art. 362 du tom. II de la Géodésie.
On tire d’abord de cette série, en n’ayant égard qu’aux quantités du premier et du deuxième ordre,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ''-\sigma '&={\frac {s}{b}}\left(1-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda +{\frac {7}{64}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&-(\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma ')\left({\frac {1}{8}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&+(\sin .4\sigma ''-\sin .4\sigma ')\left({\frac {1}{256}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)?\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652e873c3840bf8ce79d5888a9ece7873546e77d)
ou, ordonnant, on a
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(A’’)
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résultat déjà donné par M. Legendre.