les latitudes réduites
seront exactement données relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin .\lambda '&=\cot .\mathrm {V} '\cot .\omega \\\cos .\lambda \ &=\cos .\lambda '\sin .\mathrm {V} '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd35922137002c9508ce255ba624925c54811c2)
Si l’on était curieux d’avoir immédiatement la ligne géodésique, on partirait de la formule rigoureuse
![{\displaystyle \cos .\sigma ={\frac {\cos .(\varphi +\mu )}{\sin .\mathrm {V} '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13613561e35ebbc9f92d04c8a20586abca1daa0d)
laquelle servirait à procurer les valeurs des coefficients différentiels de la série
![{\displaystyle \sigma =\sigma _{0}+\left({\frac {d\sigma }{d\mu }}\right)\mu +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38fcbc3110487c5a148762674f5299812c4fd8a)
En effet on aurait
![{\displaystyle \cos .\sigma _{0}={\frac {\cos .\varphi }{\sin .\mathrm {V} '}},\qquad \left({\frac {d\sigma }{d\mu }}\right)=\operatorname {tang} .\varphi \cot .\sigma _{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f60dbad9a8f1491899e318882b84b6cefb75133)
de plus à cause de
il viendrait
![{\displaystyle \sigma =\sigma _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi \cot .\sigma _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086ab230fde4bfc6b81f1729de187cd08668b6a2)
on sait d’ailleurs que
![{\displaystyle \sigma ={\frac {s}{b}}+\tau ={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0659e48015b156a2794ffa4089b7a723d39448)
aux termes près du second ordre ; ainsi donc
![{\displaystyle {\frac {s}{b}}=\sigma _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi \cot .\sigma _{0}+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d323a1775a51cc3e37a3f55b30602769dcb801)
mais cette formule n’est suffisamment exacte qu’autant que
est fort petit, comme dans le cas du sphéroïde terrestre. On fera attention que
se déduit de ![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda _{0}={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .\sigma _{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2042510ef93eb81da500bec11865bc8f7029b32b)