des latitudes réduites
on passera sans difficulté aux latitudes vraies
auxquelles elles se trouvent liées par la relation (1).
Cherchons directement la longitude
\varphi,
mais bornons le degré de précision aux termes du premier ordre ; on aura d’abord
![{\displaystyle \cos .\omega =\sin .\mathrm {V} '\cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da52bac8d07a36ecb7a9359cc2a5ec6876ba8156)
ensuite appelant
ce que devient
lorsque
on pourra écrire
![{\displaystyle \omega =\omega _{0}+\left({\frac {d\omega }{d\tau }}\right)\tau +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\omega }{d\tau ^{2}}}\right)\tau ^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d151757a8a1d200c0aeac539a6bfbf3163327189)
et
se tirera de la relation
D’un autre côté
![{\displaystyle \left({\frac {d\omega }{d\tau }}\right)={\frac {\sin .\mathrm {V} '\sin .{\frac {s}{b}}}{\sin .\omega _{0}}}=\cot .\omega _{0}\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b9238b7cab485a0990c6f641aba826e8d5ddd7)
![{\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38eace3c70ac6391c4ea4f2725dbe9fc451f59a)
de plus
![{\displaystyle \omega =\varphi +\mu =\varphi +{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\cos .\lambda _{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b200860f848e8053611f42e12e5b3c0873fe7db6)
on aura donc, toutes substitutions faites,
![{\displaystyle \varphi =\omega _{0}-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\cos .\lambda _{0}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}{\frac {\sin .\mathrm {V} '\sin .{\frac {s}{b}}}{\sin .\omega _{0}}}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bca7e00627d684e8043626aae630c9710ffa7f3)
formule dans laquelle, se déduira de la relation ![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda _{0}={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .{\frac {s}{b}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b990ff14ff1fe098e3fd995c0a8deeb53b5fa9)
Si l’on voulait avoir l’angle
exact jusqu’aux termes du second ordre inclusivement, il serait nécessaire de substituer dans tous les termes de
pour
sa valeur approchée précé-