![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+\left({\frac {d\lambda }{d\tau }}\right)\tau +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\lambda }{d\tau ^{2}}}\right)\tau ^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d228832e428abc0cd20c97c807f9614314a8083)
Reste à déterminer les termes de cette série. Or on a, en n’évaluant que le coefficient différentiel du premier ordre,
![{\displaystyle \left({\frac {d\lambda }{d\tau }}\right)=-\operatorname {tang} .\lambda _{0}\cot .{\frac {s}{b}}\cos .^{2}\lambda _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb3825212dd17197639bd209d0ba0790a0b5753)
et l’on sait, par ce qui précède, que
![{\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490686e3ca35076c6508cf87ffc2e1de9aa2901e)
quantité exacte aux termes près du second ordre ; ainsi au même degré de précision,
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{3}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\cot .{\frac {s}{b}}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2103ad279b0b604d53567e9ca8ea61d9f1d84a5f)
mais
donc
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{4}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {V} '\cos .{\frac {s}{b}}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6ea0117cc4ed27dc263b3eebec5bb8e0ab9cac)
Sans prolonger davantage cette série, on pourra avoir une valeur plus exacte de
en introduisant celle-ci dans la série (C), sauf à rejetter les termes supérieurs au deuxième ordre ; puis en calculant la formule rigoureuse
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda ={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .\sigma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e7e8139c86ed408dab543a4f65c036d845033c)
ensuite on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin .\lambda '&=\sin .\lambda \cos .\sigma \\\cos .\omega &=\cos .\sigma \sin .\mathrm {V} ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4825f42d883bfc517169696f47b1c9c8afb74aa2)
et la longitude
s’obtiendra au moyen de la série (B). Enfin