Telle est l’expression analytique de la latitude réduite
en y négligeant les termes du second ordre en
on retombe sur la valeur que nous avions obtenue dans notre premier Mémoire, par un procédé élémentaire, mais moins général que le précédent. Il est inutile d’avertir qu’il faudra recourir à la relation (1) pour avoir la latitude vraie
cherchée.
IIe cas. Étant connues la longueur
d’un arc de plus courte distance perpendiculaire au méridien
et la différence en longitude
des extrémités de cet arc, trouver les autres parties du triangle sphéroïdique rectangle.
Solution. Le triangle sphérique correspondant au triangle sphéroïdique donné offre cette relation,
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\omega ={\frac {\operatorname {tang} .\sigma }{\cos .\lambda }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ea9fceaa1b81657b1ba031741424308bcee038)
ainsi en faisant
et
on aura
(5)
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Supposons maintenant que
soit la valeur de
lorsque
et
sont nuls à la fois, alors
sera une fonction des deux variables
et
et par le théorème connu, on aura généralement
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+\left({\frac {d\lambda }{d\mu }}\right)\mu +\left({\frac {d\lambda }{d\tau }}\right)\tau +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8455468f555b08a5e1eaf4c1fcef2845cae610)
Nous négligeons ici les termes du second ordre pour simplifier. Différentiant l’équation (5) successivement par rapport à
et
il viendra, après avoir fait nulles ces variables,
![{\displaystyle \left({\frac {d\lambda }{d\mu }}\right)={\frac {\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\sin .\lambda _{0}\sin .^{2}\varphi }},\qquad \left({\frac {d\lambda }{d\tau }}\right)=-{\frac {\cot .\varphi }{\sin .\lambda _{0}\cos .^{2}{\frac {s}{b}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc3b6765e3e888a50ac4732b70147ffeb83d99b)