Si l’on voulait obtenir directement la latitude réduite
on opérerait ainsi qu’il suit.
De ce que
on a évidemment
(4)
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en désignant dans la série (C) tous les termes en
et
par
Il n’est pas moins évident que si
exprime la valeur de
lorsque
ou
on aura
![{\displaystyle \sin .\lambda '_{0}=\sin .\lambda \cos .{\frac {s}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937d4c048c376a0084b5e2cec30802dfd492c2f6)
et, par la série de Maclaurin,
![{\displaystyle \lambda '=\lambda '_{0}+\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)\tau +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\tau ^{2}}}\right)\tau ^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00be4e393929ee74baed25eb1bfd6ab3a00f706b)
ayant soin de faire
après les différenciations. Or la relation (4), donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)=-{\frac {\sin .\lambda \sin .{\frac {s}{b}}}{\cos .\lambda '_{0}}}=-\operatorname {tang} .\lambda '_{0}\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}=\mathrm {M} \\&\left({\frac {d^{2}\lambda '}{d\tau ^{2}}}\right)=\operatorname {tang} .\lambda '_{0}\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)^{2}-\operatorname {tang} .\lambda '_{0}=\mathrm {N} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33058f6924a57131dc91a000657c8256cb73843)
et l’on a, aux termes près du troisième ordre,
![{\displaystyle \tau ^{2}={\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac5f48eaf3cfc0b2a96f811d3f437a125d282fa)
partant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda '=\lambda '_{0}&-{\frac {1}{4}}\mathrm {M} \varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\\&+{\frac {1}{16}}\mathrm {M} \varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[{\frac {7}{4}}{\frac {s}{b}}+\sin .2{\frac {s}{b}}+{\frac {s}{b}}\cos .2{\frac {s}{b}}+{\frac {5}{16}}\sin .4{\frac {s}{b}}\right]\\&+{\frac {1}{32}}\mathrm {N} \varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d739fb20e575e2f775dec09066ae14f1546c8df8)