![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(\mathrm {A} )\qquad &{\frac {s}{b}}&&=\left(1+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {3}{64}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\sigma \\&&&+\left({\frac {1}{8}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\sin .2\sigma \\&&&-{\frac {1}{256}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \sin .4\sigma \\&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(\mathrm {B} )\qquad &\varphi &&=\omega -\left({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\sigma \cos .\lambda \\&&&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \sin .2\sigma \\&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b328b3a9dfe76f9b1675a05e07f8baefb07db0a)
écrivant ici, pour abréger,
et
au lieu de
et ![{\displaystyle \varphi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847630d817aaad9a76d3a4b524cbc93c2f02edc7)
Relativement au triangle sphéroïdique obliquangle
on aura de même, en faisant
et
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(\mathrm {A} ')\qquad &{\frac {s}{b}}&&=(\sigma ''-\sigma ')\left(1+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {3}{64}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&&&+(\sin .2\sigma ''-\sin .2\sigma ')\left({\frac {1}{8}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&&&-(\sin .4\sigma ''-\sin .4\sigma ')\left({\frac {1}{256}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \right)\\&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(\mathrm {B} ')\qquad &\varphi &&=\omega ''-\omega '-(\sigma ''-\sigma ')\left({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}\right)\cos .\lambda \\&&&+\left(\sigma ''-\sigma '+{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right)\left({\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \right)\\&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2eee34b8ef59669be4c9417099203a5dbc73c2)
Ces quatre séries démontrées au chapitre Ier du livre VI de la Géodésie, sont d’autant plus convergentes que la quantité
est plus petite, quelle que soit d’ailleurs la grandeur de l’arc
Or
désignant le carré de l’excentricité de l’ellipsoïde de révolution, on a
et par conséquent