Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/636

le facteur $\mathrm {I} \omega \cos .u,$ commun à ses deux membres, il vient

${\frac {4a^{3}a'\cos .u\cos .u'+\left(a^{2}\cos .u-a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}\right)^{2}}{\left(a^{2}\cos .u+a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}\right)^{2}}}=1\,;$

ce qui est effectivement vrai, à cause que l’on a $a\cos ,u'=$ ${\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}},$ en vertu de l’équation (9).

(27) Supposons que l’on place au-dessous du fluide inférieur, un troisième fluide de la même nature que le fluide supérieur et dont la surface soit horisontale.

La normale $\mathrm {KM}$ à l’onde transmise dans le fluide intermédiaire, rencontrera la surface de ce nouveau fluide, en un point que j’appellerai $\mathrm {K} '\,;$ en ce point, l’angle d’incidence sera $u'\,;$ et comme on a $\sin .u'={\frac {a'}{a}}\sin .u,$ et par conséquent $\sin .u'<{\frac {a'}{a}},$ il faudra faire usage de la première formule du n^o 24 pour exprimer l’intensité de l’ébranlement dans l’onde qui sera réfléchie à cette surface. En désignant cette intensité par $\mathrm {I} _{1}',$ faisant $r'=r$ dans la formule dont il s’agit, et y mettant $u'$ et $\mathrm {I} '$ à la place de $u$ et $\mathrm {I} ,$ on aura

$\mathrm {I} _{1}'=\mathrm {I} '\left({\frac {a'^{2}\cos .u'-a{\sqrt {a'^{2}-a^{2}\sin .^{2}u'}}}{a'^{2}\cos .u'+a{\sqrt {a'^{2}-a^{2}\sin .^{2}u'}}}}\right)^{2}.$

Mais d’après l’équation (9), on a

$\cos .u'={\frac {1}{a}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}},\qquad {\sqrt {a'^{2}-a^{2}\sin .^{2}u'}}=a'\cos .u\,;$

l’équation précédente est donc la même chose que

$\mathrm {I} _{1}'=\mathrm {I} '\left({\frac {a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}-a^{2}\cos .u}{a'{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}+a^{2}\cos .u}}\right)^{2}\,;$

et en la comparant à la valeur de $\mathrm {I} '$ du n^o 23, dans laquelle