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sa valeur $r_{1}-{\frac {a'}{a}}\rho \sin .^{2}u,$ elle devient

${\frac {r_{1}}{a}}+{\frac {\rho }{a^{2}a'}}\left(a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u\right)=t.$

Mais d’après l’équation (9), on a

$\cos .u'={\frac {1}{a}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}\,;$

donc, à cause de $x=\rho \cos .u',$ on aura

${\frac {r_{1}}{a}}+{\frac {x\cos .u'}{a'}}=t.$

Je différentie cette équation par rapport à $x$ et $\zeta \,;$ en observant que dans le terme dont $x$ est facteur, on peut regarder l’angle $u'$ comme constant, nous aurons

${\frac {1}{a}}{\frac {dr_{1}}{d\zeta }}d\zeta +{\frac {\cos .u'}{a'}}dx=0\,;$

on a d’ailleurs ${\frac {dr_{1}}{d\zeta }}=\sin .u_{1},$ ou, à très-peu près ${\frac {dr_{1}}{d\zeta }}=\sin .u$ $={\frac {a}{a'}}\sin .u'\,;$ on aura donc

${\frac {d\zeta }{dx}}=-\cot .u',$

pour la tangente de l’angle que la tangente à la section verticale de la surface fait avec l’axe des $x\,;$ et comme la droite $\mathrm {MK}$ fait l’angle $u'$ avec le même axe, il s’ensuit que ces deux droites sont perpendiculaires l’une à l’autre ; ce qu’il s’agissait de démontrer.

Puisque $\mathrm {KM}$ est la direction de la vitesse $v'$ du point $\mathrm {M} ,$ nous voyons que dans le mouvement transmis, comme dans le mouvement direct et dans le mouvement réfléchi, la