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(22) Supposons d’abord qu’on ait $a'=a,$ en sorte que les deux fluides n’en forment plus qu’un seul qui s’étend indéfiniment en tous sens. En vertu de la formule (1), nous aurons

$\varphi ={\frac {1}{2r}}\left[(r+at)f(r+at)+(r-at)f(r+at)+\operatorname {F} (r+at)-\operatorname {F} (r-at)\right]\,;$

(6)

équation qui ne sera plus restreinte aux très-grandes valeurs de $r,$ et qui subsistera, au contraire, pour tous les points de ce fluide.

Si l’on appelle $v$ la vitesse du point $\mathrm {M}$ suivant le prolongement de son rayon vecteur $r,$ et $s$ la dilatation du fluide qui a lieu au même point, on aura, à un instant quelconque,

$v={\frac {d\varphi }{dt}},\qquad s={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\varphi }{dt}}.$

Par hypothèse, les fonctions $f$ et $\operatorname {F}$ sont égales pour des valeurs de la variable égales et de signes contraire, et nulles quand la variable est $<-\varepsilon$ ou $>\varepsilon .$ Il s’ensuit qu’on a $f(-at)=f(at)$ et $\operatorname {F} (-at)=\operatorname {F} (at)\,;$ ce qui rend nulle pour $r=0,$ la valeur de $v$ déduite de l’équation (6) ; et cela doit être, en effet, à cause que le mouvement étant semblable en tous sens autour du point $\mathrm {O} ,$ ce point ne peut se mouvoir

les petits mouvements des corps élastiques, qui sont connues depuis la lecture de ce Mémoire ; et comme les formules précédentes satisfont aussi a l’état initial du système, il s’ensuit que, dans le cas où l’ébranlement primitif a été semblable en tous sens autour d’un point donné, elles résolvent complètement le problème qui, par sa nature, n’est susceptible que d’une seule solution.