Je transforme maintenant les coordonnées
en coordonnées polaires
comme dans le no 12 ; je faits ensuite
![{\displaystyle m=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sin .\theta 'd\theta 'd\omega '}{\mu -\left({\frac {a'}{a}}\delta '\cos .\theta '+\cos .(\omega '-\omega )\sin .\theta '{\sqrt {-1}}\right)r'\cos .\theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e938600e519a24fdc4d21d9b6ad05804c949045)
et je désigne par
ce que
devient quand on y change
en
Il en résultera
![{\displaystyle \mathrm {T} \ ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{c}\int _{0}^{2\pi }{\frac {a'^{2}\sin .^{2}\theta \cos .\theta }{a^{2}\cos .^{2}\theta -a'^{2}\sin .^{2}\theta }}mr'^{2}fr'dr'd\theta d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cbb2c406b3a05d8a344c04c8fcaef4f4489180)
![{\displaystyle \mathrm {T} '={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{c}\int _{0}^{2\pi }{\frac {a'\sin .\theta \cos .\theta \left(a'\sin .\theta -a\delta '\cos .\theta {\sqrt {-1}}\right)}{a^{2}\cos .^{2}\theta -a'^{2}\sin .^{2}\theta }}m'r'^{2}fr'dr'd\theta d\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784fb0bb06ca0a5d22ac842650d8fc2e52ea4a24)
et les intégrales
et
que ces formules renferment s’obtiendront par les règles ordinaires.
En effet, on peut d’abord mettre dans
à la place de
sans changer les limites relatives à cette variable. On aura ensuite
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\omega '}{\mu -\left({\frac {a'}{a}}\delta '\cos .\theta '+\cos .\omega '\sin .\theta '{\sqrt {-1}}\right)r'\cos .\theta }}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ea4cae0cce83fe17f2bff39d62eca35fe4a5a0)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {d\omega '}{\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta \cos .\theta '-r'\cos .\theta \sin .\theta '\cos .\omega '{\sqrt {-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6f93916f6f6586369fe46506c83098d002b6d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\int _{0}^{\pi }{\frac {d\omega '}{\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta \cos .\theta '+r'\cos .\theta \sin .\theta '\cos .\omega '{\sqrt {-1}}}}\\&=\int _{0}^{\pi }{\frac {2\left(\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta \cos .\theta '\right)d\omega '}{\left(\mu -{\frac {a'}{a}}r'\delta '\cos .\theta \cos .\theta '\right)^{2}+r'^{2}\cos .^{2}\theta \sin .^{2}\theta '\cos .^{2}\omega '}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a8f3db62a93fd8c775b41ce943eca2c1553ffd)
On peut n’étendre cette dernière intégrale que depuis ![{\displaystyle \omega '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6047863a97cc9cb5f4d00e4772eb8f7f63563f6a)