la première équation (d): en y mettant
au lieu de
on aura la valeur de celle qui est contenue dans la seconde équation (d); et, de cette manière, ces deux équations deviendront.
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(e)
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Ainsi les quantités
et
qui étaient d’abord exprimées par des intégrales sextuples, le sont maintenant par des intégrales doubles. On ne peut pas les simplifier davantage, si ce n’est dans le cas où le point
auquel elles répondent est très-éloigné du centre de l’ébranlement primitif. C’est ce que nous allons faire, en commençant par l’expression de
relative au fluide supérieur.
(13) Transportons l’origine des coordonnées en un point
du fluide inférieur, situé à une distance
au-dessous de la surface de séparation des deux fluides, et sur la même verticale que le point
Soit
le rayon vecteur
du point
appartenant au fluide supérieur. Désignons par
l’angle compris entre
et la verticale passant par le point
et dirigée en sens contraire de la pesanteur, et par
l’angle que fait le plan de ces deux droites avec le plan vertical des
et
nous aurons
![{\displaystyle 2h-x=r'\cos .u,\qquad y=r'\sin .u\sin .v,\qquad z=r'\sin .u\cos .v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d997f522eeea906e526d38f591b2477d1442ee)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \varpi =r'\left(\cos .\theta .\cos .u+\sin .\theta \sin .u\cos .(\omega -v)\right)\pm at.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4438096c9b85754c1ae3a0a7599665fe85abbada)