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ment primitif a été semblable en tous sens autour du point $\mathrm {O} \,:$ hypothèse que nous ferons pour toute la suite de ce Mémoire, et qui permettra d’effectuer en partie les intégrations indiquées et de réduire les équations (b) et (c) à une forme beau coup plus simple.

(12) Pour y parvenir, je change les coordonnées rectangulaires $x',y',z',$ en coordonnées polaires, et je fais, en conséquence,

$x'=r'\cos .\theta ',\qquad y'=r'\sin .\theta '\sin .\omega ',\qquad z'=r'\sin .\theta '\cos .\omega '.$

On aura, en même temps,

$dx'dy'dz'=r'^{2}\sin .\theta '^{2}dr'd\theta 'd\omega '\,;$

et les intégrales relatives à ces nouvelles coordonnées devront être prises depuis $r'=0,$ $\theta '=0,$ $\omega '=0,$ jusqu'à $r'=\infty ,$ $\theta '=\pi ,$ $\omega '=2\pi .$ Je fais de même

$\alpha =\rho \cos .\theta ,\qquad \beta =\rho \sin .\theta \sin .\omega ,\qquad \gamma =\rho \sin .\theta \cos .\omega \,;$

il en résultera

$d\alpha d\beta d\gamma =\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,;$

les intégrales s’étendront depuis $\rho =0,$ $\theta =0,$ $\omega =0,$ jusqu’à $\rho =\infty ,$ $\theta ={\frac {1}{2}}\pi ,$ $\omega =2\pi \,;$ et nous aurons (n^o 6),

$\lambda =a\rho ,\qquad \alpha '={\frac {a}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}.$

La double intégration relative à $\theta '$ et $\omega '$ se changera d’abord en une intégrale simple et s’effectuera ensuite entièrement dans chacune des formules (b), d’après une remarque que j’ai faite autrefois, et suivant laquelle on a