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Or, les fonctions $f(x',y',z')$ et $\operatorname {F} (x',y',z')$ n’étant données que pour les valeurs de $x'$ moindres que $h$ ou négatives, et ces deux fonctions étant entièrement indéterminées, pour les valeurs de $x'$ positives et plus grandes que $h,$ nous pouvons supposer qu’on a

$\left.{\begin{aligned}&f(2h-x',y',z')=f(x',y',z'),\\&\operatorname {F} (2h-x',y',z')=\operatorname {F} (x',y',z')\,;\end{aligned}}\right\}$

(21)

car les valeurs de $2h-x'$ qui répondent à $x'<h$ sont toutes $>h,$ et pour $x'=h,$ ces équations sont identiques. De cette manière les valeurs de $p$ et $\mathrm {P}$ prendront la forme :

${\begin{aligned}p=&{\frac {1}{2}}a^{2}\alpha \int _{-\infty }^{\infty }f(x',y',z')\cos .\alpha (x'-x)dx',\\\mathrm {P} =&{\frac {1}{2}}a^{2}\alpha \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {F} (x',y',z')\cos .\alpha (x'-x)dx'\,;\end{aligned}}$

en faisant $a'=0$ dans la première formule (18), nous aurons

$u={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left[f(x',y',z')+\operatorname {F} (x',y',z'){\frac {\sin .\lambda t}{\lambda }}\right]\cos .\alpha (x'-x)d\alpha dx'\,;$

et la valeur de $\varphi$ donnée par la première équation (2), coïncidera avec la formule (20). Delà et des équations (21), on conclut que le mouvement d’un fluide appuyé contre un plan fixe, est le même que celui d’un fluide qui s’étendrait indéfiniment des deux côtés de ce plan, et dont les deux parties auraient été symétriquement ébranlées, de sorte qu’à l’origine du mouvement, les dilatations et les vitesses horizontales soient les mêmes, et les vitesses verticales, égales et contraires, pour les points situés à distance égale d’un côté