les sommes
s’étendant à toutes les valeurs réelles et positives de
qui seront données par l’équation (16), et les valeurs de
et
étant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \;=&a{\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha _{1}^{2}}},\\\alpha '=&{\frac {1}{a'}}{\sqrt {\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)-a^{2}\alpha _{1}^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ad6081ad3b8aa0880f6ff709b865d83fdf5dff)
En ajoutant les formules (15) et (17), on aura les expressions complètes de
et
qui répondent au cas où la hauteur du fluide supérieur est infinie ; le fluide inférieur ayant encore une hauteur quelconque
Chacune de ces expressions se trouvera ainsi composée d’une somme
et d’une intégrale, qui ne contiendront, l’une et l’autre, que des quantités réelles.
(8) Passons actuellement au cas où la hauteur
du fluide inférieur est aussi infinie.
Si l’on substitue dans les formules (15), à la place de
leurs valeurs résultantes des équations (11) et (14), le facteur
disparaîtra au dénominateur qui se réduira à
Or, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {H} ^{2}=\left(a^{2}\alpha -a'^{2}\alpha '\right)^{2}&+2\left(a^{2}\alpha -a'^{2}\alpha \right)\left(a^{2}\alpha +a'^{2}\alpha '\right)\cos .2l\alpha '\\&+\left(a^{2}\alpha +a'^{2}\alpha '\right)^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3646ca55ccf5d3da7c886df08d245130a625feaf)
les quantités
et
étant réelles et positives, la fraction
![{\displaystyle {\frac {a^{2}\alpha -a'^{2}\alpha '}{\alpha ^{2}\alpha +a'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e6c6c11578457cbd32babe3c0b85f59c7cad13)
sera toujours plus petite que l’unité ; par conséquent on obtiendra une série convergente en développant
suivant les puissances de cette fraction. D’ailleurs, ce développement sera de la forme :
![{\displaystyle \mathrm {H^{-2}=A_{0}+A} _{1}\cos .2l\alpha '+\mathrm {A} ^{2}\cos .4l\alpha '+{\text{etc}}.;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9d9b05027c5e0994e57eaeb97bb86ddf991a86)