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en faisant, pour abréger,

$\mathrm {H} ^{2}=a^{4}\alpha '^{2}\cos .^{2}l\alpha '+a'^{4}\alpha '^{2}\sin .^{2}l\alpha '.$

Après avoir substitué ces valeurs dans les quantités $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ que contiennent les formules (13), on pourra donc considérer $\alpha$ comme une variable continue dont la différentielle sera ${\frac {\pi }{k}},$ et changer, en conséquence, les sommes relatives à $i$ ou $\alpha ,$ en intégrales dont les limites seront $\alpha ={\frac {\pi }{2k}}$ et $\alpha =\infty ,$ ou, sans aucune erreur, zéro et l’infini.

Les expressions de $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ du n^o 3 deviendront, par cette substitution,

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {U} =&\left[a^{2}\alpha \cos .l\alpha '\cos .\alpha (x-h)+a'^{2}\alpha '\sin .l\alpha '\sin .\alpha (x-h)\right]{\frac {\cos .l\alpha '}{\mathrm {H} }},\\\mathrm {V} =&\left[\cos .l\alpha '\cos .\alpha '(x-h)+\sin .l\alpha '\sin .\alpha '(x-h)\right]{\frac {^{2}\alpha \cos .l\alpha '}{\mathrm {H} }}.\end{aligned}}\right\}$

(14)

D’ailleurs, à cause de $k=\infty$ et la variable $\alpha$ étant réelle, la quantité $\Delta$ du n^o 4 se réduit à

$\Delta ={\frac {1}{2}}k\cos .^{2}l\alpha '\,;$

les parties des formules (13) qui répondent aux valeurs réelles de $\alpha ,$ deviendront donc, dans le cas que nous examinons,

$\left.{\begin{aligned}u=&{\frac {2a^{2}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }(\mathrm {E} \cos .\lambda t+\mathrm {F} \sin .\lambda t){\frac {\mathrm {U} d\alpha }{\cos .^{2}l\alpha '}},\\v=&{\frac {2a'^{2}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }(\mathrm {E} \cos .\lambda t+\mathrm {F} \sin .\lambda t){\frac {\mathrm {V} d\alpha }{\cos .^{2}l\alpha '}}.\end{aligned}}\right.$

(15)

On y mettra pour $\mathrm {E,F,U,V} ,$ leurs valeurs données par les