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$i$ étant un nombre entier et positif, et $\varepsilon$ une quantité positive ou négative, mais moindre que ${\frac {1}{2}}\pi ,$ qui sera déterminée en fonction de $i$ par l’équation (7). Chaque somme $\sum$ relative aux valeurs réelles de $\alpha ,$ se changera en autant de sommes relatives à $i,$ qu’il y aura de valeurs différentes de $\varepsilon \,;$ mais il est facile de prouver que cette inconnue ne sera susceptible que d’une seule valeur.

En effet, pour des valeurs infiniment petites de $\alpha ,$ l’équation (7) se réduit à $\cos .k\alpha =0\,;$ d’où l’on tire

$k\alpha =i\pi +{\frac {1}{2}}\pi ,\qquad \varepsilon =0.$

Si, au contraire, $\alpha$ est une quantité finie, il faudra que $i$ soit infini ; on pourra alors négliger $\varepsilon$ par rapport à $i\pi$ en dehors de $\sin .k\alpha$ et $\cos .k\alpha \,;$ et l’équation (7) deviendra

$a^{2}i\pi \cos .l\alpha '\cos .\varepsilon -a'^{2}k\alpha '\sin .l\alpha '\sin .\varepsilon =0,$

où l’on fera

$a'k\alpha '={\sqrt {i^{2}\pi ^{2}a^{2}+\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.$

Or, il est évident que cette équation ne donnera qu’une seule valeur de $\varepsilon ,$ plus petite plus petite que ${\frac {1}{2}}\pi ,$ bstraction faite du signe.

Il résulte de là que dans le cas de $k=\infty$ et relativement aux valeurs réelles de $\alpha ,$ on devra mettre dans les formules (13), $i\pi +{\frac {1}{2}}\pi$ à la place de $k\alpha ,$ en dehors de $\sin .k\alpha$ et $\cos .k\alpha ,$ soit que $i$ soit un nombre fini, ou qu’il soit infini, et changer ensuite chaque somme $\sum$ en une somme relative à $i,$ qui s’étendra depuis $i=0$ jusqu’à $i=\infty .$ Quant aux valeurs de $\sin .k\alpha$ et $\cos .k\alpha ,$ l’équation (7) donnera

$\sin .k\alpha =-{\frac {a'^{2}\alpha '\sin .l\alpha '}{\mathrm {H} }},\qquad \cos .k\alpha ={\frac {a^{2}\alpha \cos .i\alpha '}{\mathrm {H} }},$