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forme $\pm q{\sqrt {-1}},$ ou dont le carré soit réel. L’une ou l’autre de ces quantités adınet effectivement de semblables valeurs ; mais il importe de remarquer que dans le cas ou les hauteurs $k$ et $l$ des deux fluides sont très-grandes, et, à plus forte raison, quand elles deviennent infinies, on ne peut pas avoir, à la fois, $\alpha =\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}$ et $\alpha '=\pm \alpha '_{1}{\sqrt {-1}}\,;$ $\alpha _{1}$ et $\alpha '_{1}$ étant des quantités réelles qu’on pourraient supposer positives. Cela résulte, en effet, de la forme même de l’équation (7) ; car si l’on y substitue ces valeurs de $\alpha$ et $\alpha ',$ si l’on change ensuite les sinus et cosinus en exponentielles, et que l’on ne conserve que celles dont les exposants sont positifs, il vient

$\left(a^{2}\alpha _{1}+a'^{2}\alpha '_{1}\right)e^{k\alpha _{1}}e^{l\alpha '_{1}}=0\,;$

ce qui est impossible. Ajoutons encore que $\alpha$ étant imaginaire en même temps que $\alpha ',$ à raison de $a>a',$ on en peut conclure que la seconde inconnue sera réelle et que la première seule pourra être imaginaire, dans le cas de $k=\infty$ et $l=\infty$ dont nous allons nous occuper spécialement.

Au moyen des équations (6), on pourra éliminer $\alpha '$ et $\lambda$ dans les équations (7) et (13). On se servira ensuite de l’équation (7) pour déterminer les valeurs de $\alpha \,;$ et les sommes $\sum$ des formules (13) s’étendront à toutes celles de ces valeurs dont les carrés sont différents.

(6) Supposons infinie, la hauteur $k$ du fluide supérieur, et considérons successivement les valeurs réelles et positives de $\alpha ,$ et ses valeurs de la forme $\alpha _{1}{\sqrt {-1}},$ que donnera, dans ce cas, l’équation (7) ; $\alpha _{1}$ étant une quantité réelle et positive.

Quelle que soit la valeur positive de $k\alpha ,$ on pourra la représenter par

$k\alpha =i\pi +{\frac {1}{2}}\pi +\varepsilon \,;$