résultat qui fera connaître les valeurs de
et
d’après celles de
et
qu’on vient de trouver. En effectuant les intégrations indiquées, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{h-k}^{h}\mathrm {U} ^{2}dx=(2k\alpha +\sin .2k\alpha ){\frac {\cos .^{2}l\alpha '}{4\alpha }},\\&\int _{h}^{h+l}\mathrm {V} ^{2}dx=(2l\alpha '+\sin .2l\alpha '){\frac {\cos .^{2}k\alpha }{4\alpha '}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fdd609a0fe4ed75d9817f6744738a25eaa843d)
et si nous faisons, pour abréger,
![{\displaystyle \Delta =(2k\alpha +\sin .2k\alpha ){\frac {\cos .^{2}l\alpha '}{4\alpha }}+(2l\alpha '+\sin .2l\alpha '){\frac {\cos .^{2}k\alpha }{4\alpha '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb01870a8104bbb9a010ed945741f132f46f7c6)
nous aurons finalement
![{\displaystyle \mathrm {A={\frac {E}{\Delta }},\qquad B={\frac {F}{\Delta }}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeb080778d65072eff799b8cf95ca5a3fa17259)
Au moyen de ces valeurs de
et
les formules (8) deviendront
|
|
(13)
|
et jointes aux équations (2), elles renfermeront la solution complète du problème, puisqu’elles ne contiennent plus rien d’inconnu.
(5) Il est évident, par la nature de la question, que la quantité à ne peut avoir que des valeurs réelles ; car l’équilibre de deux fluides superposés étant un état stable, leurs différents points ne peuvent faire que de petites oscillations, lorsque cet état est un tant soit peu troublé ; et cela exige que