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résultat qui fera connaître les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ d’après celles de $\mathrm {E}$ et $\mathrm {F}$ qu’on vient de trouver. En effectuant les intégrations indiquées, on a

${\begin{aligned}&\int _{h-k}^{h}\mathrm {U} ^{2}dx=(2k\alpha +\sin .2k\alpha ){\frac {\cos .^{2}l\alpha '}{4\alpha }},\\&\int _{h}^{h+l}\mathrm {V} ^{2}dx=(2l\alpha '+\sin .2l\alpha '){\frac {\cos .^{2}k\alpha }{4\alpha '}}\,;\end{aligned}}$

et si nous faisons, pour abréger,

$\Delta =(2k\alpha +\sin .2k\alpha ){\frac {\cos .^{2}l\alpha '}{4\alpha }}+(2l\alpha '+\sin .2l\alpha '){\frac {\cos .^{2}k\alpha }{4\alpha '}},$

nous aurons finalement

$\mathrm {A={\frac {E}{\Delta }},\qquad B={\frac {F}{\Delta }}} .$

Au moyen de ces valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ les formules (8) deviendront

$\left.{\begin{aligned}u=&a^{2}\sum (\mathrm {E} \cos .\lambda t+\mathrm {F} \sin .\lambda t){\frac {\mathrm {U} }{\Delta }},\\v=&a'^{2}\sum (\mathrm {E} \cos .\lambda t+\mathrm {F} \sin .\lambda t){\frac {\mathrm {V} }{\Delta }}\,;\end{aligned}}\right\}$

(13)

et jointes aux équations (2), elles renfermeront la solution complète du problème, puisqu’elles ne contiennent plus rien d’inconnu.

(5) Il est évident, par la nature de la question, que la quantité à ne peut avoir que des valeurs réelles ; car l’équilibre de deux fluides superposés étant un état stable, leurs différents points ne peuvent faire que de petites oscillations, lorsque cet état est un tant soit peu troublé ; et cela exige que