les parenthèses indiquant que les quantités qu’elles renferment, répondent à
Si l’on a aussi égard à la première équation (9), on aura donc
![{\displaystyle {\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx=a^{2}\left({\frac {du}{dx}}\mathrm {U} \right)-a^{2}\left(u{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\right)-\lambda ^{2}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19196f0ce1252798246a2b60d69a9c9e5037a649)
On déduira de même, de la seconde équation (3),
![{\displaystyle {\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx=-a'^{2}\left({\frac {dv}{dx}}\mathrm {V} \right)+a'^{2}\left(v{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\right)-\lambda ^{2}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc36774d4a71e4e66b81de7a30bf6f2671d44b3c)
J’ajoute ces deux équations, après avoir divisé la première par
et la seconde par
Les termes compris hors du signe
et qui répondent à
se détruisent, en sorte que l’on a simplement
![{\displaystyle {\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left({\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f72c73a6bcc1970830a6e831c1d216e35037f65)
![{\displaystyle +\lambda ^{2}\left({\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269898f4b233a693f1e32b24a8939ac7a8df427f)
équation différentielle du second ordre dont l’intégrale complète est
|
|
(10)
|
en désignant par
et
les deux constantes arbitraires. On les déterminera immédiatement au moyen des valeurs de
relatives à
qui se déduisent des valeurs initiales de
en y mettant
et
au lieu de ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)