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les parenthèses indiquant que les quantités qu’elles renferment, répondent à $x=h.$ Si l’on a aussi égard à la première équation (9), on aura donc

${\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx=a^{2}\left({\frac {du}{dx}}\mathrm {U} \right)-a^{2}\left(u{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\right)-\lambda ^{2}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx.$

On déduira de même, de la seconde équation (3),

${\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx=-a'^{2}\left({\frac {dv}{dx}}\mathrm {V} \right)+a'^{2}\left(v{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\right)-\lambda ^{2}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx.$

J’ajoute ces deux équations, après avoir divisé la première par $a^{2}$ et la seconde par $a'^{2}.$ Les termes compris hors du signe $\int$ et qui répondent à $x=h,$ se détruisent, en sorte que l’on a simplement

${\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left({\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx\right)$

$+\lambda ^{2}\left({\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx\right)=0\,;$

équation différentielle du second ordre dont l’intégrale complète est

${\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}v\mathrm {V} dx=\mathrm {E} \cos .\lambda t+\mathrm {F} \sin .\lambda t,$

(10)

en désignant par $\mathrm {E}$ et $\mathrm {F}$ les deux constantes arbitraires. On les déterminera immédiatement au moyen des valeurs de $u,v,{\frac {du}{dt}},{\frac {dv}{dt}},$ relatives à $t=0,$ qui se déduisent des valeurs initiales de $\varphi ,\varphi ',{\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\varphi '}{dt}},$ en y mettant $y'$ et $z'$ au lieu de $y$