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D’après cela, les équations (1) donneront

$\left.{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=&a^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-a^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right),\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=&a'^{2}{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-a'^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right).\end{aligned}}\right\}$

(3)

On aura, en outre,

${\frac {du}{dx}}={\frac {dv}{dx}},\qquad {\frac {1}{a^{2}}}{\frac {du}{dt}}={\frac {1}{a'^{2}}}{\frac {dv}{dt}},$

(4)

pour $x=h,$ et les équations

${\frac {du}{dx}}=0,\qquad {\frac {dv}{dx}}=0,$

(5)

la première pour $x=h-k$ et la seconde pour $x=h+l.$

De cette manière, nous n’aurons plus à considérer les variables $y$ et $z\,;$ mais on aurait pu également les conserver, et appliquer directement l’analyse suivante aux inconnues $\varphi$ et $\varphi '.$ Nous aurions pu aussi, sans nouvelle difficulté et en rendant seulement les formules plus longues à écrire, supposer que les deux fluides fussent limités latéralement au lieu de les considérer comme indéfinis parallèlement à leur surface de séparation, ce qui suffit pour l’objet principal de ce Mémoire.

(3) On satisfait de la manière la plus générale aux équations (3) et (5), en prenant

${\begin{aligned}u=&\sum (\mathrm {C} \cos .\lambda t+\mathrm {D} \sin .\lambda t)\cos .\alpha (x+k-h),\\v=&\sum (\mathrm {C} '\cos .\lambda t+\mathrm {D} '\sin .\lambda t)\cos .\alpha '(x-l-h),\end{aligned}}$

où l’on représente par $\mathrm {C,D,C',D'} ,\lambda ,$ des constantes arbitraires, et par $\alpha$ et $\alpha '$ d’autres constantes qui se déduiront de $\lambda ,$