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quand $t=0\,:$ ces quatre fonctions $f,f',\operatorname {F} ,\operatorname {F} ',$ seront données pour toutes les valeurs de $y$ et $z,$ positives ou négatives ; les deux premières depuis $x=h-k$ jusqu’à $x=h,$ et les deux dernières depuis $x=h$ jusqu’à $x=h+l\,:$ elles pourront avoir une forme quelconque, continue ou discontinue, pourvu seulement qu’elles satisfassent aux équations précédentes, relatives aux valeurs extrêmes de $x.$

(2) Quelles que soient les inconnues $\varphi$ et $\varphi ',$ on pourra, d’après un théorème connu^[1], les représenter pour toutes les valeurs de $y$ et $z,$ par les formules :

$\left.{\begin{aligned}\varphi \;=&{\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint u\cos .\beta (y-y')\cos .\gamma (z-z')d\beta \,d\gamma \,dy'dz',\\\varphi '=&{\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint v\cos .\beta (y-y')\cos .\gamma (z-z')d\beta \,d\gamma \,dy'dz'\,;\end{aligned}}\right\}$

(2)

$u$ et $v$ étant ce que deviennent $\varphi$ et $\varphi '$ quand on y met $y'$ et $z'$ à la place de $y$ et $z\,;$ $\pi$ désignant le rapport de la circonférence au diamètre ; les intégrales relatives à $y'$ et $z'$ ayant $\pm \infty$ pour limites, et les autres étant prises depuis $\beta =0$ et $\gamma =0$ jusqu’à $\beta =\infty$ et $\gamma =\infty .$ À cause que les équations du numéro précédent doivent subsister pour toutes les valeurs de $y$ et $z,$ si l’on y substitue ces expressions de $\varphi$ et $\varphi ',$ il faudra qu’elles aient lieu entre les coefficients du produit $\cos .\beta (y-y')\cos .\gamma (z-z')$ sous les intégrales quadruples.

1. M. Fourier a donné le premier cet important théorème pour des fonctions d’une seule variable, qui sont égales et de même signe, ou égales et de signe contraire, quand on y change le signe de la variable. Il était facile de l’étendre à des fonctions quelconques, de deux ou d’un plus grand nombre de variables. On en peut voir la démonstration dans mes précédents Mémoires.