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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.

intervalle contigu à $\mathrm {Z}$, $\xi$ prend la même valeur ; nous assujettissons $\xi$ à rester constante dans un tel intervalle. $\xi (x)$ est maintenant partout définie ; c’est une fonction non décroissante et, cependant, on trouvera zéro pour $u$, si, parmi les points de division employés, se trouvent les points de $\mathrm {Z}$.

On a vu que la variation totale finie ou non d’une fonction est la limite supérieure des nombres $v$ pour cette fonction, donc aussi de ses nombres $u$. Montrons que, si la variation totale de $f(x)$ est infinie, il y a des ensembles réductibles $\mathrm {E}$ pour lesquels les nombres $u$ correspondants sont infinis.

Supposons qu’il s’agisse de l’intervalle ${(a,b)}$ et faisons croître $x$ de $a$ à $b$. Si, de $a$ à $x_{0}$, $f(x)$ est à variation bornée, $f(x)$ est a fortiori à variation bornée de $a$ à ${x<x_{0}}$ ; donc, quand $x$ parcourt ${(a,b)}$, $x$ atteint une valeur $\xi$ qui est soit la première telle que la variation totale de $a$ à $\xi$ soit infinie, soit la dernière pour laquelle cette variation est finie ; $\xi$ pourra d’ailleurs être confondu avec $a$, ou avec $b$.

Dans le premier cas envisagé $f(x)$ sera à variation totale non bornée dans tout intervalle ${(\xi -h,\xi )}$ ; dans le second cas sa variation totale serait infinie dans tout intervalle ${(\xi ,\xi +h)}$. Plaçons-nous, par exemple, dans la seconde hypothèse. Nous pourrons choisir dans ${(\xi ,b)}$ des points $b>b_{1}>b_{2}>\ldots >b_{p}>\xi$, tels que la variation $v$ dans ${(\xi ,b)}$ pour ce système de points surpasse ${o+1}$, $o$ étant l’oscillation de $f(x)$ dans ${(a,b)}$. On a donc

$\left\vert f(b_{p})-f(\xi )\right\vert +\left\vert f(b_{p-1})-f(b_{p})\right\vert +\ldots +\left\vert f(b)-f(b_{1})\right\vert >o+1$,

$\left\vert f(b_{p})-f(\xi )\right\vert \leqq o$ ;

donc

$\left\vert f(b)-f(b_{1})\right\vert +\left\vert f(b_{1})-f(b_{2})\right\vert +\ldots +\left\vert f(b_{p-1})-f(b_{p})\right\vert >1$.

Choisissons dans ${(\xi ,b_{p})}$ des points $b_{p}>b_{p+1}>\ldots >b_{p+q}>\xi$, tels que la variation $v$ dans ${(\xi ,b_{p})}$ calculée à l’aide de ces points surpasse ${o+1}$ ; puis, dans ${(\xi ,b_{p+q})}$ des points

$b_{p+q}>b_{p+q+1}>\ldots >b_{p+q+r}>\xi$,

tels qu’ils donnent pour la variation $v$ dans ${(\xi ,b_{p+q})}$ une valeur supérieure à ${o+1}$, et ainsi de suite.

Il est clair que l’ensemble $\mathrm {E}$ formé du point $\xi$ et de cette suite