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CHAPITRE XI.

à $\mathrm {E} _{l}$ à être enfermé dans $\mathrm {A} _{l}$ et tel que

$\left\vert {\frac {\mathrm {F} (x_{i+1}-0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)}{\alpha (x_{i+1}-0)-\alpha (x_{i}-0)}}-l\varepsilon \right\vert <\varepsilon$,

notre formule deviendra

$\mathrm {F} (b-0)-\mathrm {F} (a)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\sum _{i=0}l\varepsilon \,m_{\alpha (x)}\![x_{i}\leqq x<x_{i+1}]}$,

Montrons que la série qui y figure est absolument convergente ; soit $\Lambda _{l}$ la mesure, par rapport à ${\alpha (x)}$, de ceux des intervalles de la chaîne dont les origines sont points de $\mathrm {E} _{l}$, soit $\Lambda '_{l}$ la mesure de ces mêmes intervalles par rapport à ${\mathrm {V} (x)}$. En groupant les valeurs absolues des termes de la série, on voit que leur somme est au plus

$\textstyle \sum |l|\varepsilon \Lambda _{l}'\leqq \sum |l|\varepsilon \,m_{\mathrm {V} (x)}\![\mathrm {A} _{l}]\leqq \sum |l|\varepsilon [m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {E} _{l})+\varepsilon _{l}]$,

laquelle quantité est au plus égale à

$\int _{a}^{b}\left[|f(x)|+\varepsilon \right]\,\mathrm {d} \left[\mathrm {V} (x)\right]+\varepsilon \zeta$

La série étant absolument convergente, on en peut grouper les termes et écrire

$\mathrm {F} (b-0)-\mathrm {F} (a)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\textstyle \sum l\varepsilon \Lambda _{l}}$.

Montrons que, lorsqu’on fait tendre $\eta$ et $\zeta$ vers zéro, on peut remplacer sous le signe $\textstyle \sum$ chaque $\Lambda _{l}$ par sa limite ${m_{\alpha (x)}\!(\mathrm {E} _{l})}$. La série du second membre ayant ses termes qui varient moins que ceux de la dérivée ${\textstyle \sum |l|\varepsilon \Lambda '_{l}}$, il suffit de justifier le passage à la limite pour cette série. Or, on a

$m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {E} _{l})-\eta \leqq \Lambda '_{l}\leqq m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {A} _{l})\leqq m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {E} _{l})+\varepsilon _{l}$,

d’où

$\textstyle \sum ^{p}|l|\varepsilon \left[m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {E} _{l})-\eta \right]\leqq \sum |l|\varepsilon \Lambda '_{l}\leqq \sum |l|\varepsilon \left[m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {E} _{l})+\varepsilon _{l}\right]$,

l’indice $p$ indiquant que la première sommation ne doit être étendue qu’aux termes positifs.

Pour $\eta$ tendant vers zéro, le premier membre tend en croissant vers ${\textstyle \sum |l|\varepsilon \,m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {E} _{l})}$ ; le dernier membre est $\textstyle \sum |l|\varepsilon \,m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {E} _{l})+\varepsilon \zeta$ ; donc la limite de ${\textstyle \textstyle \sum |l|\varepsilon \Lambda '_{l}}$, pour $\eta$ et $\zeta$ tendant vers zéro, est ${\textstyle \sum |l|\varepsilon \,m_{\mathrm {V} (x)}\!(\mathrm {E} _{l})}$. En d’autres termes, on peut passer à la limite