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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

Dire que $f$ est la dérivée de $\mathrm {F}$, c’est-à-dire que l’on a

$f(x)=\mathop {\operatorname {\text{limite}} } _{h\to 0,\,k\to 0}^{h>0,\,k>0}{\frac {\mathrm {F} (x+k)-\mathrm {F} (x-h)}{\alpha (x+k)-\alpha (x-h)}}$,

si l’on traduit exactement les considérations du précédent paragraphe ; mais il est évident qu’alors $\mathrm {F}$ ne serait déterminée en aucun point puisque ${\mathrm {F} (x-0)}$ et ${\mathrm {F} (x+0)}$ interviennent en fait seuls^[1]. Exigeons donc que l’on ait

$f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}{\alpha (x+h)-\alpha (x)}}$,

pour dire que $\mathrm {F}$ admet $f$ pour dérivée. Dans la recherche de la limite du second membre, il ne sera tenu compte que des nombres $h$ pour lesquels le second membre a une valeur déterminée, finie ou non. En un point intérieur à un intervalle dans lequel $\mathrm {F}$ et $\alpha$

1. Ceci est tout naturel, car ${\alpha (x)}$ n’intervient que pour définir la fonction ${\psi (\mathrm {D} )}$ et que ${\mathrm {F} (x)}$ est définie par une fonction de domaine ${\varphi (\mathrm {D} )}$ ; or, à ${\psi (\mathrm {D} )}$ et ${\varphi (\mathrm {D} )}$, correspondent des fonctions ${\alpha (x)}$ et ${\mathrm {F} (x)}$ pour lesquelles
   $\alpha (x-0)$,$\alpha (x+0)$,$\mathrm {F} (x-0)$,$\mathrm {F} (x+0)$,

   sont déterminés à une constante additive près, tandis que ${\alpha (x)}$ et ${\mathrm {F} (x)}$ ne le sont pas.

   Stieltjès avait déjà remarqué qu’à une distribution donnée de masses sur $\mathrm {O} x$, c’est-à-dire à une fonction ${\varphi (\mathrm {D} )}$, ne correspond pas une fonction ${\alpha (x)}$ unique. Lorsque ${\alpha (x)}$ est donnée directement, tout point de discontinuité $x_{0}$ de ${\alpha (x)}$ correspond à la concentration d’une masse ${\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)}$ au point $x_{0}$. Stieltjès imagine que cette concentration est faite en deux points géométriquement confondus en $x_{0}$ ; le premier, portant la masse ${\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)}$, appartient à ${(a,x_{0})}$ ; le second, de masse ${\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0})}$, appartient à ${(x_{0},b)}$.

   Cela revient à considérer les symboles ${x+0}$, ${x-0}$ comme des nombres au même titre que les symboles $x$, tous ces symboles étant susceptibles d’être classés par ordre de grandeur, à considérer comme un intervalle les ensembles de nombres ${\alpha \leqq x\leqq \beta }$, $\alpha$ et $\beta$ étant deux nombres différents, ${\alpha <\beta }$, et à prendre pour ${\varphi (\mathrm {D} )}$ une fonction de tels intervalles. Les intervalles seraient alors de neuf catégories différentes suivant que leur origine et leur extrémité seraient des symboles ${x-0}$, $x$ ou ${x+0}$ ; il y aurait trois espèces d’intervalles nuls,

   $(x-0,x)$,$(x,x+0)$,$(x-0,x+0)$.

   Ces conventions dispenseraient des précautions que nous avons dû prendre dans la division d’un intervalle en plusieurs autres (p. 152) ; dans une telle division devrait figurer une fois et une seule tout intervalle nul des formes

   $(x-0,x)$et$(x,x+0)$.