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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

tous les $\omega _{i}$ sont au plus égaux à l’oscillation $\Omega$ de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, les ${}\delta _{i}v-|\delta _{i}\alpha |$ sont positifs, donc cette quantité est au plus égale à

$\Omega \sum _{0}^{n}\left[\delta _{i}v-|\delta _{i}\alpha |\right]=\Omega \mathrm {V} -\Omega \sum _{0}^{n}|\delta _{i}\alpha |$.

Mais on sait (p. 61) que dans les conditions ici considérées ${\sum _{0}^{n}|\delta _{i}\alpha |}$ tend vers $\mathrm {V}$. De là résultent les relations suivantes :

$\mathrm {D} \leqq \lim {\overline {\mathrm {S} }}\leqq \mathrm {E}$ ;$\mathrm {D} \leqq \lim {\underline {\mathrm {S} }}\leqq \mathrm {E}$ ;

$\lim {\left({\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}\right)}=\mathrm {E} -\mathrm {D}$ ;

donc on a

$\lim {\overline {\mathrm {S} }}=\mathrm {E}$,$\lim {\underline {\mathrm {S} }}=\mathrm {D}$.

Le théorème est démontré et l’on a pour les intégrales par excès et par défaut les expressions

${\begin{aligned}\mathrm {E} &={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]={\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]{\text{,}}\\\mathrm {D} &={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[\alpha (x)\right]={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[p(x)\right]-{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} \left[n(x)\right]{\text{.}}\end{aligned}}$

Pour que nos énoncés se réduisent exactement à ceux du Chapitre II quand on fait ${\alpha (x)\equiv x}$, convenons d’appeler oscillation moyenne de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, prise par rapport à ${\alpha (x)}$, la limite du rapport

${\frac {\displaystyle \sum _{0}^{n}\omega _{i}\,\delta _{i}v}{\displaystyle \sum _{0}^{n}\delta _{i}v}}$,

c’est-à-dire le nombre

$\omega ={\frac {\mathrm {E} -\mathrm {D} }{\mathrm {V} }}$ ;

alors la condition nécessaire et suffisante pour que les sommes $\mathrm {S}$ tendent^[1] vers une limite déterminée, que nous appellerons

1. On remarquera qu’ici il n’est plus nécessaire de ne considérer que des suites