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CHAPITRE X.
![{\displaystyle {r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}-h]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcf7632268bc81ee8229460bebd67acd63dad9c)
est aussi partout non borné supérieurement, il y a sur 
des points où 
, et puisque ces rapports sont aussi non bornés inférieurement, il y a des points où 
et 
.
Précisons ce résultat en nous reportant à la démonstration de notre premier théorème sur les nombres dérivés (p. 220). Nous avons remarqué alors que l’ensemble 
des points 
de en lesquels on a
![{\displaystyle r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]\leqq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923fbc177bfcdacbc7acf2ddcd4b3d1b57c1d8a4)
,
quel que soit 
positif, était un ensemble fermé. Dans l’hypothèse actuelle c’est un ensemble fermé non dense sur , puisque, dans tout intervalle contenant des points de , en certains de ces points 
surpasse 
pour certaines valeurs positives de .
L’ensemble 
des points en lesquels on a l’une ou l’autre des inégalités
,
![{\displaystyle r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]\geqq -n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6c79bff8630cf2be329fc01ac2a13c6f359d9e)
,
soit quel que soit positif, soit quel que soit négatif, étant la somme de quatre ensembles analogues à , est fermé et non dense sur .
Si l’on remarque que la somme des est l’ensemble des points de en lesquels l’un des quatre nombres dérivés est fini, la démonstration s’achève facilement. ne peut être la somme des partout non denses sur (p. 203), donc il y a des points de n’appartenant à aucun ; en ces points les quatre nombres dérivés de 
sont infinis.
b. Admettons que, dans un intervalle que nous supposerons l’intervalle 
lui-même, la plus petite limite de 
, pour 
tendant vers zéro, soit nulle. Il est clair que la variation totale négative de 
est bornée, donc est à variation bornée ; de plus, si l’on décompose en son noyau absolument continu et sa fonction des singularités, celle-ci se réduit à sa propre variation positive
;
on a
