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LA TOTALISATION.

Étendons ce résultat au cas suivant : On ne connaît la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite qu’exception faite des points d’un ensemble dénombrable  ; on ne sait pas si, aux points de , est fini ou infini. Cas dans lequel est encore déterminée à une constante additive près, page 86.

Le théorème de la page 220 sera remplacé par le suivant : Si, aux points d’un ensemble parfait , n’est égale à qu’en une infinité dénombrable de points, les points , il existe un nombre positif et un intervalle contenant à son intérieur des points de et tel que, pour tout intervalle dont l’origine est point de et de , on ait

.

En effet, est encore la somme d’une infinité dénombrable d’ensembles fermés, savoir les et les divers points considérés comme formant chacun a lui seul un ensemble fermé. Ces ensembles ne sauraient être tous partout non denses sur , page 203 ; or tous les sont non denses sur , donc l’un des est dense sur dans un intervalle, c’est-à-dire identique à dans cet intervalle et la démonstration s’achève comme précédemment.

Alors, en convenant comme toujours qu’on laissera de côté les points en lesquels est infini dans l’étude de la sommabilité et pour le calcul de l’intégrale, étant donné un ensemble fermé il existe un intervalle  :

a. Contenant des points de à son intérieur ;

b. Tel que et existent ;

c. Et pour lequel on a

.

En effet, ou bien contient un point isolé, alors un intervalle ne contenant à son intérieur que ce seul point de répond à la question ; ou bien est parfait et rien n’est changé au raisonnement fait antérieurement.