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LA TOTALISATION.

Étendons ce résultat au cas suivant : On ne connaît la valeur finie $f(x)$ du nombre dérivé supérieur à droite ${\Lambda \mathrm {F} (x)}$ qu’exception faite des points d’un ensemble dénombrable $\mathrm {D}$ ; on ne sait pas si, aux points de $\mathrm {D}$, ${\Lambda \mathrm {F} (x)}$ est fini ou infini. Cas dans lequel ${\mathrm {F} (x)}$ est encore déterminée à une constante additive près, page 86.

Le théorème de la page 220 sera remplacé par le suivant : Si, aux points d’un ensemble parfait $\mathrm {E}$, ${\mathrm {F} (x)}$ n’est égale à ${+\infty }$ qu’en une infinité dénombrable de points, les points $\mathrm {P} _{i}$, il existe un nombre positif $\mathrm {M}$ et un intervalle $\mathrm {I}$ contenant à son intérieur des points de $\mathrm {E}$ et tel que, pour tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ dont l’origine est point de $\mathrm {E}$ et de $\mathrm {I}$, on ait

$r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]<\mathrm {M}$.

En effet, $\mathrm {E}$ est encore la somme d’une infinité dénombrable d’ensembles fermés, savoir les $\mathrm {E} _{n}$ et les divers points $\mathrm {P} _{i}$ considérés comme formant chacun a lui seul un ensemble fermé. Ces ensembles ne sauraient être tous partout non denses sur $\mathrm {E}$, page 203 ; or tous les $\mathrm {P} _{i}$ sont non denses sur $\mathrm {E}$, donc l’un des $\mathrm {E} _{n}$ est dense sur $\mathrm {E}$ dans un intervalle, c’est-à-dire identique à $\mathrm {E}$ dans cet intervalle et la démonstration s’achève comme précédemment.

Alors, en convenant comme toujours qu’on laissera de côté les points $\mathrm {P} _{i}$ en lesquels ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)}$ est infini dans l’étude de la sommabilité et pour le calcul de l’intégrale, étant donné un ensemble fermé $\mathrm {E}$ il existe un intervalle $i$ :

a. Contenant des points de $\mathrm {E}$ à son intérieur ;

b. Tel que ${\int _{i,\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x}$ et ${\sum _{i}^{\mathrm {E} }\left[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )\right]}$ existent ;

c. Et pour lequel on a

${\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}(i)=\int _{i,\mathrm {E} }\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{i}^{\mathrm {E} }[\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]$.

En effet, ou bien $\mathrm {E}$ contient un point isolé, alors un intervalle $i$ ne contenant à son intérieur que ce seul point de $\mathrm {E}$ répond à la question ; ou bien $\mathrm {E}$ est parfait et rien n’est changé au raisonnement fait antérieurement.